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Forum "Integralrechnung" - volumen einer Kugel
volumen einer Kugel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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volumen einer Kugel: Kugel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 So 29.06.2008
Autor: Moiza

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:


Hallo!

Ich muss aus r²=x²+y² das volumen einer kugel herrleiten.

also mache ich pi* (sqrt(r²-x²))² und mir bleibt

dann bleibt mir r² pi dx - x² pi dx  warum wird dann aus

r² pi dx

r² pi [r-(-r)]

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel[/code]

        
Bezug
volumen einer Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 29.06.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Die Frage hast du doch hier schonmal fast genauso gestellt.

Generell gilt für einen Rotierenden Körper um die x-Achse zwischen den Stellen a und b mit der Begrenzungsfunktion f(x):

[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}(f(x)²)dx. [/mm]

In deinem Fall ist

[mm] x²+y²=r^{2} [/mm]
[mm] \gdw y^{2}=r²-x² [/mm]
[mm] \gdw y=\wurzel{r²-x²} [/mm]

Und die Stellen a und b sind hier die Nullstellen von [mm] f_{r}(x)=\wurzel{r²-x²} [/mm]

Also a=-r und b=+r

Somit ergibt sich das Kugelvolumen:

[mm] V=\pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}(\wurzel{r²-x²})^{2}dx [/mm]
[mm] =\pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}r²-x²dx [/mm]

Jetzt bestimme mal die Stammfunktion [mm] H_{r}(x) [/mm] zu [mm] H_{r}(x)=r²-x² [/mm]

Dann gilt:

$$ [mm] \pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}r²-x²dx [/mm] $$
[mm] =H_{r}(r)-H_{r}(-r) [/mm]
=...

Marius

Bezug
                
Bezug
volumen einer Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 So 29.06.2008
Autor: Moiza

es ging ums selbe thema!

jetzt würde ich gerne wissen:

dann bleibt mir r² pi dx - x² pi dx  warum wird dann aus

r² pi dx

r² pi [r-(-r)]

das in der eckigen klammer verstehe ich nicht wo das her kommt

Bezug
                        
Bezug
volumen einer Kugel: Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 So 29.06.2008
Autor: Loddar

Hallo Moiza!


Da wurde erst integriert und anschließend die beiden Integrationsgrenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -r$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +r$ eingesetzt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
volumen einer Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 So 29.06.2008
Autor: Moiza

Danke

Bezug
                                
Bezug
volumen einer Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 So 29.06.2008
Autor: Moiza

blöde frage, aber wie kommen die da hinein?

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Bezug
volumen einer Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 So 29.06.2008
Autor: leduart

Hallo
noch blödere Frage! Was fragst du?
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
volumen einer Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 29.06.2008
Autor: XPatrickX

Hi,

um [mm] \integral \wurzel{r^2-x^2} [/mm] dx zu bestimmen, substituiere x=r*sin(t).

Gruß Patrick

Bezug
                                                
Bezug
volumen einer Kugel: Woher die Wurzel?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 Mo 30.06.2008
Autor: M.Rex

Hallo Patrick

Woher hast du die Wurzel?

Das Volumen der Kugel berechnet sich mit [mm] V=\pi*\integral_{-r}^{r}r²-x²dx [/mm]

Marius

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