volumen eines Ellipsoids < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten morgen meine Lieben!
Ich soll das Volumen eines ellipsoids ausrechnen [mm] \bruch{x²}{a²}+ \bruch{y²}{b²}+ \bruch{z²}{c²} \le [/mm] 1 ( a,b,c >0) und dabei eine geeignete Transformation verwenden!
Hab mich für X= ar cos [mm] \alpha [/mm] cos [mm] \beta, [/mm] y=brcos [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta [/mm] und z= cr sin [mm] \alpha [/mm] entschieden!
als determinate der ableitungen dieses vektors bekomm ich -abcr²cos [mm] \alpha [/mm] raus!
so das ich letzendlich auf folgendes komme:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{- \bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{x²}{a²}+ \bruch{y²}{b²}+ \bruch{z²}{c²}* abcr²cos \alpha d \beta d\alpha dr}
[/mm]
wenn ich das durchrechne komm ich auf4/5*pi*abc rauskommen müßte aber nach meine Formelsammlung 4/3 *pi*abc!
ich glaub es leigt daran das ich r über [mm] r^4 [/mm] integrieren muß, wenn ich über r² integrieren müßte käm ich auch auch die 4/3! das fällt bei mir aber nicht weg! wenn ich x,y undz einsetze kann ich a²,b² und c² rauskürzen und durch die sinus und cosinus umformungen darauf kommen das der vordere teil ohne die determinate mit nur r² daherkommt! zusammen mit der determinante komm ich dann [mm] r^4 [/mm] ! Wo liegt mein fehler?
danke für eure hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo superkermit,
Wir benutzen also folgendes (r, [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta)-Koordinatensystem:
[/mm]
[mm] x=a*r*sin\alpha*cos\beta [/mm] => [mm] 0\le r\le1
[/mm]
[mm] y=b*r*sin\alpha*sin\beta [/mm] => [mm] 0\le\alpha\le\pi
[/mm]
[mm] z=c*r*cos\alpha [/mm] => [mm] 0\le\beta\le2\pi
[/mm]
Erkennst du den Unterschied zu deiner Lösung. Wir verwenden ja nichts anderes als Kugelkoordniaten, die in x-Richtung um den Faktor a und in y-Richtung bzw. z-Richtung um den Faktor b bzw. c gestreckt sind!
Die Zugerhörige Funktionaldeterminante = [mm] abcr^{2}*sin\alpha
[/mm]
Das Volumen V des Ellipsoids berechnet sich dann folgendermaßen:
[mm] V=\integral_{0}^{1} {\integral_{0}^{\pi} {\integral_{0}^{2\pi} {abcr^{2}*sin\alpha*d\beta*d\alpha*dr}}}
[/mm]
Wenn du das jetzt ausrechnechst, dann kommst du auf dein gewünschtes Ergebnis!
Jetzt zu deinem Problem:
Der Ellipsoid hat doch folgende Form:
[mm] \frac{{x^2 }}{{a^2 }} [/mm] + [mm] \frac{{y^2 }}{{b^2 }} [/mm] + [mm] \frac{{z^2 }}{{c^2 }} [/mm] = 1
Wie du schon erkannt hat, erhälst du auf der linken Seite [mm] r^{2} [/mm] und auf der rechten Seite steht dann noch die 1!
[mm] r^{2}=1
[/mm]
So, jetzt sollte es eigentlich klingeln! ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
Fabian
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