volumen von rotationskörpern < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo!
ich schreibe morgen eine Klausur und muss dafür wissen wie man die formel für die volumenberechnung eines Kreiskörpers(V= [mm] \pi/3*r²h) [/mm] mithilfe der formel V= [mm] \pi*\integral_{a}^{b} [/mm] {f²(x) dx}nachweisen kann.
wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Do 25.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]V = \pi/3*r²h[/mm]
Diese Formel halte ich für ein Gerücht. Es dürfte doch eigentlich nur der Radius r auftreten auf der rechten Seite ...
Schau' doch nochmals in der Formelsammlung nach.
> V=[mm]\pi*\integral_{a}^{b} {f²(x) dx}[/mm]nachweisen kann.
> wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
>
Am besten wir stellen uns einen Kreis vor mit Mittelpunkt im Ursprung.
Betrachten wollen wir nun nur den Ausschnitt im 1. Quadranten.
Gemäß Pythagoras wissen wir doch:
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2$
[/mm]
Umgestellt: [mm] $y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x^2$.
[/mm]
Dieses [mm] $y^2$ [/mm] enstspricht nun exakt unserem [mm] $f^2(x)$ [/mm] in der Integralformel.
Welche Grenzen müssen wir nun einsetzen?
Da wir uns ja (vorerst) nur im 1. Quadranten bewegen, beginnen wir mit a=0 und enden bei b=r.
Unsere Volumenformel lautet nun:
[mm] $\pi*\integral_{0}^{r}{y^2 dx} [/mm] = [mm] \pi*\integral_{0}^{r}{(r^2 - x^2) dx}$
[/mm]
Vergessen dürfen wir nur nicht, daß wir auf diesen Wege ja nur das Volumen einer Halbkugel berechnen.
Für unser gewünschtes Endergebnis müssen wir diesen Wert also noch verdoppeln. Die endgültige Formel lautet also:
[mm] $V_{Kugel} [/mm] = [mm] 2*\pi*\integral_{0}^{r}{y^2 dx} [/mm] = [mm] \pi*\integral_{0}^{r}{(r^2 - x^2) dx}$
[/mm]
Kommst Du nun klar?
Grüße Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 25.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Habt ihr beiden da vielleicht irgendwie aneinander vorbeigeredet?
Also erstmal (für mich selber, zum Verständnis): was genau versteht man unter einem Kreiskörper? Ist es wirklich nur eine Kugel, wie's Loddar hergeleitet hat? Oder zählen da Körper dazu, die einen (oder mehrere) Kreis(e) als Grund-(oder Deck-)fläche besitzen (wie Kegel, Zylinder)?
Jule hat uns ja die Formel für nen Kegel präsentiert... Bin mir jetzt nur wegen den Begriffen nicht sicher, ob's wirklich ein Mißverständnis war.
|
|
|
|
