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| Aufgabe | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim zehnmaligen Würfeln mit einem fairen Würfel jede der Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 wenigstens einmal zu würfeln?
Hinweis: Stellen SIe das Komplementärereignis als Vereinigung von "einfacheren" Ereignissen dar und nutzen Sie die Siebformel. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eigentlich habe ich gar keinen richtigen Ansatz, da ich die Vereinigung der Mengen bei der Siebformel nicht verstanden habe.
A= jede Zahl mind. einmal geworfen
Akomplementär= nicht alle zahlen mind. einmal geworfen?
habe ich verschiedene Ereignisse
A= 1 wird geworfen
B=2 wird geworfen
C = 3 wird geworfen...
so dass ich dann [mm] P(A\capB\capC\capD\capE\capF) [/mm] habe?
kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also ich würde das folgendermaßen angehen:
[mm] A_i [/mm] - wenigstens 1 mal die Zahl "i" würfeln i=1,...,6
[mm] A^c_i- [/mm] Zahl "i" wird keinmal geworfen
Dann gilt mit De Morgan und der Siebformel:
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{6}A_i)=1-P((\bigcap_{i=1}^{6}A_i)^c)
[/mm]
[mm] =1-P(\bigcup_{i=1}^{6}A^c_i)
[/mm]
[mm] =1-\summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}*\summe_{I\subseteq \{1,2,..,6\},|I|=k}^{}P(\bigcap_{i\in I}^{}A^c_i)
[/mm]
Die Wkeiten sind nun relativ leicht auszurechnen (denke ich =) ):
Z.B. ist
[mm] P(A^c_1)=(\bruch{5}{6})^{10}
[/mm]
[mm] P(A^c_1\cap A^c_2)=(\bruch{4}{6})^{10}
[/mm]
usw.
d.h. [mm] P(\bigcap_{i\in I, |I|=k}^{}A^c_i)=(\bruch{6-k}{6})^{10}=(1-\bruch{k}{6})^{10}
[/mm]
Also unabhängig von den [mm] A_i [/mm] sind die Wkeiten immer gleich groß.
Um die Summe auszurechnen muss man sich jetzt noch überlegen, wieviele Möglichkeiten es jeweils gibt aus 6 Elementen k auszusuchen,nämlich [mm] \vektor{6 \\ k}.
[/mm]
Jetzt noch einsetzen:
[mm] P(...)=1-\summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}\vektor{6 \\ k}(1-\bruch{k}{6})^{10}
[/mm]
und dann einzeln ausrechnen. Fertig.
Viele Grüße!
Fry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 17.05.2009 | | Autor: | Fry |
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Leider machen mich die Formeln etwas konfus.
also bei den Wahrscheinlichkeiten geht es dann mit
[mm] P(A_{1}^c \cap A_{2}^c \cap A_{3}^c =(3/6)^6
[/mm]
usw weiter oder?
was ist denn k? ist das mein 10 mal zeihen? oder sind das die einzelnen Zahlen von 1-6?
Leider kann ich auch mit dem Summenzeichen nicht richtig umgehen. heißt, was muss ich einsetzen und wie wird das dann (kleinschrittig) ausgerechnet?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 17.05.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
da hab ich mich bei dem Exponenten vertan, muss jeweils hoch 10 sein,hab ich mal verbessert.
Also das Ereignis [mm] "A^c_1\cap A^c_2" [/mm] heißt ja, dass keine 1 und keine 2 bei 10 mal Würfeln geworfen wird. D.h. beim ersten Wurf dürfen nur die Zahlen 3,4,5,6 geworfen werden, die Wkeit also im ersten Wurf keine 1,2 zu würfeln ist also 4/6. Dies ändert sich ja auch nicht bei den anderen 9 Würfen.
also (4/6)*(4/6)*....*(4/6)=(4/6)^10
Wegen des k: Das k kommt aus der Siebformel, wobei k nur Zahlen von 1 bis 6 annimmt, denn es gibt ja nur die Ereignisse [mm] A^c_1, ...,A^c_6. [/mm] In der Siebformel kommen dann alle möglichen "Kombinationen"/Durchschnitte der [mm] A^c_i [/mm] vor. Icjh lasse mal beim Beispiel die "c" weg:
Die Formel beginnt mit:
[mm] \summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}\cdot{}\summe_{I\subseteq \{1,2,..,6\},|I|=k}^{}P(\bigcap_{i\in I}^{}A_i)
[/mm]
[mm] =(-1)^{1+1}*(P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] + [mm] P(A_3) [/mm] + .... hier kommt die Summe einzelnen [mm] A_i [/mm] vor, also k=1 )
+ [mm] (-1)^{2+1}*(P(A_1\cap A_2) [/mm] + [mm] P(A_1\cap A_3)+ P(A_1\cap A_4) [/mm] + [mm] ...+P(A_2\cap A_3) [/mm] + .... k=2, hier werden dann alle Wkeiten über Durchschnitte zweier [mm] A_i [/mm] gebildet,man müsste also alle Kombinationsmöglichkeiten zweier [mm] A_i [/mm] aufschreiben )
[mm] +(-1)^{3+1}*(P(A_1\cap A_2\cap A_3) [/mm] + [mm] P(A_1\cap A_2\cap A_4)+... [/mm] k=3, hier dann alle 3er Durchschnitte)
+....
Und da wie gesagt, die Einzelwkeiten für festes k gleich sind, kann für festes k die Anzahl der entsprechenden Durchschnitte nehmen und mit ihrer Wkeit multiplizieren.
Z.B. für k=1 gibt es [mm] \vektor{6 \\ 1}=6 [/mm] Ereignisse [mm] A_i [/mm] (1er Durchschnitte)
für k=2 gibt es [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] Ereignisse [mm] A_i\cap A_j [/mm] (2er Durchschnitte)
usw.
Zum Ausrechnen der Summe: Setze die Zahlen 1 bis 6 für k in den Term hinter der Summe ein und addieren diese Terme.
d.h. [mm] \summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}\vektor{6 \\ k}(1-\bruch{k}{6})^{10}=(-1)^{1+1}\vektor{6 \\ 1}(1-\bruch{1}{6})^{10}+(-1)^{2+1}\vektor{6 \\ 2}(1-\bruch{2}{6})^{10}+...
[/mm]
Gruß
Fry
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ah okay. super vielen dank!!!
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