wann ist die Funktion konvex/k < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 03.08.2012 | | Autor: | asis2013 |
Hi,
die Funktion f(x)=-x^(1/2).
meine Lösung:
Definitionsbereich: alle x>oder=0.
1)f'(x)=-1/(2x^(1/2)), negativ für alle x>0, aber wegen des Definitionsbereiches der Stammfunktion fallend bei x>oder=0.
2)f''(x)=1/(4x^(3/2)), positiv für alle x>0, also wegen des Definitionsbereiches der Stammfunktion konvex bei x>oder=0
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=497968
http://www.onlinemathe.de/forum/wann-Funktion-konvexkonkav-und-wann-steigendfall
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Hi!
> Kurvendiskussion
> Hi,
>
> die Funktion f(x)=-x^(1/2).
>
Wie lautet denn deine Funktion richtig? Es wäre zunächst hilfreich Klammern zu setzten und den Formeleditor zu verwenden.
1. Möglichkeit: [mm]f(x)=-(x^\frac{1}{2})[/mm]
2. Möglichkeit: [mm]f(x)=(-x)^\frac{1}{2}[/mm]
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Fr 03.08.2012 | | Autor: | asis2013 |
die 1. Möglichkeit
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Hallo asis2013,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> die 1. Möglichkeit
Deine gemachten Aussagen stimmen, bis auf den Definitionsbereich.
Die Ableitungen sind nutr für x>0 definiert.
Gruss
MathePower
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> Hi!
>
> > Kurvendiskussion
> > Hi,
> >
> > die Funktion f(x)=-x^(1/2).
> >
>
> Wie lautet denn deine Funktion richtig? Es wäre zunächst
> hilfreich Klammern zu setzten und den Formeleditor zu
> verwenden.
>
> 1. Möglichkeit: [mm]f(x)=-(x^\frac{1}{2})[/mm]
>
> 2. Möglichkeit: [mm]f(x)=(-x)^\frac{1}{2}[/mm]
>
>
> Valerie
Hallo Valerie,
der Funktionsterm war absolut korrekt geschrieben. Da
Exponenten höhere Priorität haben (also stärker binden)
als Punkt- und Strich-Operationen, muss der Term
-x^(1/2)
korrekterweise als [mm] -(x^\frac{1}{2}) [/mm] interpretiert werden.
Die Klammern sind jedoch nicht nötig.
Leider erleben wir es hier im Matheraum aber doch
allzu oft, dass die Prioritätenregeln missachtet werden.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:24 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hi!
> >
> > > Kurvendiskussion
> > > Hi,
> > >
> > > die Funktion f(x)=-x^(1/2).
> > >
> >
> > Wie lautet denn deine Funktion richtig? Es wäre zunächst
> > hilfreich Klammern zu setzten und den Formeleditor zu
> > verwenden.
> >
> > 1. Möglichkeit: [mm]f(x)=-(x^\frac{1}{2})[/mm]
> >
> > 2. Möglichkeit: [mm]f(x)=(-x)^\frac{1}{2}[/mm]
> >
> >
> > Valerie
>
>
> Hallo Valerie,
>
> der Funktionsterm war absolut korrekt geschrieben.
Du hast schon Recht - und dass das auch so gemeint war, hätte man sich auch an den Ergebnissen des Fragestellers überlegen können. Dennoch war Valeries Frage auch sinnvoll: Den viele rechnen mit [mm] $(-x)^n$ [/mm] so, als wenn da [mm] $-x^n$ [/mm] stünde etc. pp..
Und wenn sie dann auch noch passende Ergebnisse bekommen, obwohl sie eigentlich "falsches" bearbeiten, ist das schwer zu erkennen, was denn da jemand falsch macht. So ähnlich, wie manche durch's Leben laufen mit dem Glauben, dass [mm] $\sqrt{4}=\pm [/mm] 2$ ist und's fast keinem auffällt. ( P.S. Nein, ich will nun nicht über die Definition von Wurzeln aus komplexen Zahlen philosophieren - ich bleibe bei der "Standarddefinition" von Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen.  )
> Da
> Exponenten höhere Priorität haben (also stärker binden)
> als Punkt- und Strich-Operationen, muss der Term
>
> -x^(1/2)
>
> korrekterweise als [mm]-(x^\frac{1}{2})[/mm] interpretiert werden.
> Die Klammern sind jedoch nicht nötig.
Du hast hier eigentlich die Begründung gegeben, warum die Klammern nicht nötig sind. Hätte man diese Konvention nicht, wären sie (eventuell) nötig.
> Leider erleben wir es hier im Matheraum aber doch
> allzu oft, dass die Prioritätenregeln missachtet werden.
Auch alleine deswegen war ihre Nachfrage gerechtfertigt. Mir ist auch, ehrlich gesagt, nicht ganz klar:
War ihre Intention eigentlich wirklich, drauf hinzuweisen, dass der Term da mit Klammern geschrieben werden muss? Oder war es vielleicht nicht eher ihre Motivation, einfach nachzufragen, ob die Funktion so, wie sie da steht, auch so gemeint ist -oder ob nicht vielleicht doch die "Alternative" gemeint war, aber falsch notiert wurde?
Aber das wird sie uns beantworten (können)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Marcel, Hallo Al,
> > > > die Funktion f(x)=-x^(1/2).
> > >
> > > 1. Möglichkeit: [mm]f(x)=-(x^\frac{1}{2})[/mm]
> > >
> > > 2. Möglichkeit: [mm]f(x)=(-x)^\frac{1}{2}[/mm]
> > >
> > der Funktionsterm war absolut korrekt geschrieben.
Ja, das mag ja sein, dennoch wollte ich einfach nur kurz nachfragen, um von vornherein Missverständnisse auszuschließen.
> war es vielleicht nicht eher ihre Motivation, einfach
> nachzufragen, ob die Funktion so, wie sie da steht, auch so
> gemeint ist -oder ob nicht vielleicht doch die
> "Alternative" gemeint war, aber falsch notiert wurde?
>
> Aber das wird sie uns beantworten (können)!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie gesagt, ich wollte mich nur vergewissern ob die Aufgabenstellung auch wirklich so gemeint war.
Es war nicht meine Absicht hier jemanden dazu zu zwingen Klammern zu setzen.![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
Desweiteren hatte ich auch in keinster Weise geschrieben, dass hier Klammern gesetzt werden müssen.
Ich schrieb: "Es wäre zunächst hilfreich Klammern zu setzten".
Gruß
Valerie
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Einverstanden.
Vielen müsste man tatsächlich den wichtigen Tipp geben:
ein (richtig gesetztes) Klammerpaar zu viel ist stets besser
als eines zu wenig !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Sa 04.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
>
> Vielen müsste man tatsächlich den wichtigen Tipp geben:
> ein (richtig gesetztes) Klammerpaar zu viel ist stets
> besser
> als eines zu wenig !
>
> LG Al
Oh ja, das ist in der Tat nötig
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Einverstanden.
>
> Vielen müsste man tatsächlich den wichtigen Tipp geben:
> ein (richtig gesetztes) Klammerpaar zu viel ist stets
> besser
> als eines zu wenig !
richtig - auch, wenn ich die Aussage irgendwie witzig finde. 
Im Studium habe ich mich mal über einen Prof. geärgert: Der hatte immer $f [mm] \circ [/mm] g(x)$ geschrieben - und ich fragte mich, was denn da der Unterschied zu $f(g(x))$ sein sollte? Die Aussagen machten so erstmal keinen Sinn, wenn man [mm] $f\circ [/mm] g(x)$ als [mm] $f(g(x))\,$ [/mm] auffasste.
Naja, er meinte halt "die Funktion" $(f [mm] \circ [/mm] g)(x)$ (halt eine übliche Sprechweise, wobei ich mich oft frage, warum man, wenn das formal richtiger ist und man eh keinen Funktionsterm beschreibt, man dafür dann nicht einfach $f [mm] \circ [/mm] g$ oder $(f [mm] \circ [/mm] g)$ schreibt - es ist sogar weniger zu schreiben ^^ Also mir ist schon klar, dass man gerne sowas formuliert wie "Die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist differenzierbar mit Ableitung [mm] $f\,'(x)=2x$" [/mm] - aber der Prof. machte das etwa so ("Gedächtnisprotokoll - die Funktionen sind frei erfunden "): Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Dann ist die Funktion [mm] $f(x)\,$ [/mm] differenzierbar mit Ableitung [mm] $f\,'(x)$ [/mm] gegeben durch [mm] $f\,': \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f\,'(x)=2x$ [/mm] für $x [mm] \in \IR\,.$"
[/mm]
Da macht die "Kurznotation" irgendwie keinen Sinn in meinen Augen - sie wird vollkommen entgegen ihrem Sinn verwendet - man schreibt mit ihr sogar mehr als nötig!).
P.S.
Ich finde es auch merkwürdig, dass man oft bei vielen Studenten merkt, dass den Studenten nie erklärt wurde, welchen Sinn welche Notation hat und wie man manches definiert. Nicht selten macht man es ja aus "Faulheitsgründen" so, dass, wenn man eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] erweitert oder einschränkt, die erweiterte oder die eingeschränkte Funktion wieder [mm] $f\,$ [/mm] nennt. Den Studenten ist dann oft nicht immer klar, dass da eigentlich unterschiedliche Funktionen stehen, die aber "gleich" heißen. Die gucken dann nur auf die Funktionsgleichung und sagen dann: "Aber das ist doch die gleiche Funktion wie vorher!"
Oder ein anderes Beispiel: Wenn man $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] als Spaltenvektor schreibt, dann ist es eine Konvention, dass man [mm] $f(x_1,...,x_n):=f(x^T)=f((x_1,...,x_n))$ [/mm] schreibt. Das ist vielen unklar, die denken, dass ist doch selbstverständlich, dass man doppelte Klammern zu einer zusammenfasst. Wenn ich jemandem sowas erkläre, dann mache ich es auch meistens so, dass ich frage:
"Okay, und wenn wir [mm] $x\,$ [/mm] als Spaltenvektor stehenlassen, dann schreibe ich ja [mm] $f(x)=f(\vektor{x_1 \\.\\.\\. \\ x_n})$. [/mm] Ist es da auch selbstverständlich, Klammern weglassen zu dürfen?" (Das habe ich bei Spaltenvektoren übrigens echt noch nie gesehen - was ist eigentlich der Grund, dass man das da nicht macht? Ich kann mich doch auch auf den Standpunkt stellen, dass aus dem Kontext klar ist, wie das zu verstehen ist. Oder habe nur ich das noch nie gesehen und manche machen es bei Spaltenvektoren analog?)
Oder noch ein weiteres Beispiel:
Man sagt ja gerne, dass, wenn [mm] $x=(x_1,x_2)^T$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)^T$ [/mm] sind, man eine Matrix [mm] $A\,$ [/mm] "bauen kann" wie folgt
[mm] $$A:=(x,y)=\pmat{x_1, & y_1 \\ x_2, & y_2}\,.$$
[/mm]
Eigentlich müßte man, wenn man $A=(x,y)$ sieht, doch erstmal vermuten
[mm] $$A=\left(\vektor{x_1,\\x_2},\;\vektor{y_1,\\y_2}\right)\,.$$
[/mm]
Sieht komisch aus für eine Matrix. Da gibt's also schon Konventionen, die man so als selbstverständlich hinnimmt, dass oft kein Wort mehr drüber verloren wird. Dabei kann man das ganze doch einmal irgendwo kurz erklären, letzteres zum Beispiel, indem man sagt, was man mit $A:=(x,y)$ meint, indem man $(x,y)$ definiert oder erklärt - man kann ja auch das ganze schon beschreiben, indem man mit Matrixeinträgen bzw. Vektoreinträgen (oder Koordinaten - aber da muss man schon wieder vorsichter sein, weil die ja im Bezug zu einer Basis stehen) das ganze beschreibt. Und vielleicht auch noch ein Beispiel gibt. Kann oft helfen, Verwirrungen zu vermeiden (jedenfalls meiner Erfahrung nach).
Gruß,
Marcel
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> ..... der Prof. machte das etwa so ("Gedächtnisprotokoll - die
> Funktionen sind frei erfunden "): Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> und [mm]f(x):=x^2[/mm] ([mm]x \in \IR[/mm]). Dann ist die Funktion [mm]f(x)\,[/mm]
> differenzierbar mit Ableitung [mm]f\,'(x)[/mm] gegeben durch [mm]f\,': \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]f\,'(x)=2x[/mm] für [mm]x \in \IR\,.[/mm]"
Der Herr Professor führt zunächst schön die Symbole f und f'
für zwei Funktionen ein, deren jede durch Angabe von Definitions-
und Zielbereich und eine Funktionsvorschrift definiert wird.
Dann nutzt er aber die Kraft dieser Symbole gar nicht und
macht alles kaputt, wenn er dann von "der Funktion f(x)"
und "ihrer Ableitung f'(x)" spricht.
Wirklich ziemlich schlimm, wenn solche Leute ihr halbgares
Wissen dann an Hunderte von Studierenden weitergeben ...
Irgendwie war der Professor ja auf dem richtigen Weg - es ist
aber fraglich, ob er bis zu seiner Eremitierung das Ziel noch
erreicht hat ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 So 05.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > ..... der Prof. machte das etwa so ("Gedächtnisprotokoll -
> die
> > Funktionen sind frei erfunden "): Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> > und [mm]f(x):=x^2[/mm] ([mm]x \in \IR[/mm]). Dann ist die Funktion [mm]f(x)\,[/mm]
> > differenzierbar mit Ableitung [mm]f\,'(x)[/mm] gegeben durch [mm]f\,': \IR \to \IR[/mm]
> > mit [mm]f\,'(x)=2x[/mm] für [mm]x \in \IR\,.[/mm]"
>
> Der Herr Professor führt zunächst schön die Symbole f
> und f'
> für zwei Funktionen ein, deren jede durch Angabe von
> Definitions-
> und Zielbereich und eine Funktionsvorschrift definiert
> wird.
> Dann nutzt er aber die Kraft dieser Symbole gar nicht und
> macht alles kaputt, wenn er dann von "der Funktion f(x)"
> und "ihrer Ableitung f'(x)" spricht.
>
> Wirklich ziemlich schlimm, wenn solche Leute ihr halbgares
> Wissen dann an Hunderte von Studierenden weitergeben ...
>
> Irgendwie war der Professor ja auf dem richtigen Weg - es
> ist
> aber fraglich, ob er bis zu seiner Eremitierung das Ziel
> noch
> erreicht hat ...
eben - zumal man bei solchem Wirrwarr dann auch ständig verwirrt wird, und sich immer überlegen muss, was er nun meint. Denn nicht immer hat er auch "die Funktion [mm] $f(x)\,$" [/mm] geschrieben, wenn er [mm] $f\,$ [/mm] gemeint hat, sondern da stand oft einfach nur noch [mm] "$f(x)\,.$" [/mm] Dann muss man ständig überlegen, was er nun meint: Meint er [mm] $f\,$ [/mm] oder meint er die Auswertung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] etc. pp..
Abei sein Standpunkt war ja eh eher so nach dem Motto: "Wer mitdenkt, wird schon wissen, was ich meine..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 So 05.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Nur eine Bemerkung:
Die Ungl.
f(tx+sy) [mm] \le [/mm] tf(x)+sf(y)
für x,y,s,t [mm] \ge [/mm] 0 und t+s=1 kann man recht einfach zu Fuß nachrechnen.
FRED
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