was ist bahn (betr. gruppen) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Tim |
vermutich eine leichte sache- aber, was genau sind die bahnen von gruppen? in etwa vergleichbar mit bildern von abbildungen?
und warum sind die bahnen der operation:
[mm] \IR [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] : (t,(x,y)) [mm] \to [/mm] (x+t,y-2t)
eine schar von parallelen geraden?
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Gruß!
Wenn eine Gruppe $G$ gegeben ist und man außerdem eine Menge $X$ hat, dann spricht man von einer "Operation" von $G$ auf $X$ (und nennt $X$ eine $G$-Menge), falls es eine Abbildung [mm] $\cdot [/mm] : G [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] X$ gibt mit:
$e [mm] \cdot [/mm] x = x$ falls $e [mm] \in [/mm] G$ das neutrale Element ist.
$(g [mm] \circ [/mm] h) [mm] \cdot [/mm] x = g [mm] \cdot [/mm] (h [mm] \cdot [/mm] x)$
Im Zusammenhang mit einer Operation kann man nun von einer Bahn sprechen.
Wenn man sich ein $x [mm] \in [/mm] X$ fest vorgibt, bezeichnet man $Gx := [mm] \{ g \cdot x : g \in G \}$ [/mm] als die $G$-Bahn von $x$.
In Deinem Beispiel ist $X = [mm] \IR^2$ [/mm] und $G = [mm] (\IR, [/mm] +)$. Die Bahn eines $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist dann die Menge [mm] $\{( x+t , y-2t) : t \in \IR \}$... [/mm] und alle Bahnen sind eben alle Bahnen von allen Elementen $(x,y) [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
Ist der Begriff klar geworden?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Tim |
ja, vielen dank.
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