was ist das charakt. poly. ? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi!
ich frage mich jetzt schon seit laengerem, was das charakteristische
polynom einer matrix eigentlich ist.
(klar, ich kann damit die eigenwerte ausrechen...)
aber was hat diese funktion mit der matrix eigentlich zu tun?
was sind zBsp hoch-, tiefpunkte, wendepunkte, was sagt die steigung
des polynoms ueber die matrix aus?
in mathe 2 an der uni haben wir nur die nullstellen des polynoms benutzt, aber was der ganze "rest" eigentlich bedeutet konnte mir noch keiner erklaeren.
vergleich: wenn zBsp die ableitung einer funktion null ist und die 2. abl. ungleich null, dann habe ich ein extremum der ursprungsfkt.
aber was eigentlich interessant ist, ist doch dass ich mit der ableitung die steigung in jedem punkt bestimme!
so einen hintergrund suche ich fuer das charakteristische polynom, was bedeutet es eigentlich?
mfg claudius
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 20.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Von so einem Hintergrund habe ich noch nie gehört. Und ich glaube auch, dass es ihn gar nicht gibt.
Es ist eigentlich wirklich bloß hauptsächlich ein Hilfsmittel zur Berechnung der Eigenwerte.
Du musst es auch so sehen.... in der Algebra kennt man keine Ableitungen, etc., d.h. es ist recht schwer da überhaupt irgendeinen Zusammenhang sich reindenken zu wollen.
Hier kannste noch n bissl nachlesen, was das charakteristische Polynom noch so für Eigenschaften hat: ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link.
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hmm,
ich galube aber nicht, dass der "rest" des polynoms einfach ein
unbrauchbares zufallsprodukt ist, da es ja aus der matrix berechnet
wurde ergo wird da ein system dahinterstecken.
mit den "normalen" eigenschaften des polynoms bin ich vertraut und in wiki
hab ich natuerlich auch schon nachgeschlagen...
trotzem danke fuer die schnelle reaktion
claudius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 20.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Von so einem Hintergrund habe ich noch nie gehört. Und ich
> glaube auch, dass es ihn gar nicht gibt.
> Es ist eigentlich wirklich bloß hauptsächlich ein
> Hilfsmittel zur Berechnung der Eigenwerte.
Das stimmt so nicht, das charakteristische Polynom sagt viel mehr aus. Seine Faktorisierung in irreduzible Faktoren beschreibt die Hauptraumzerlegung.
> Du musst es auch so sehen.... in der Algebra kennt man
> keine Ableitungen, etc., d.h. es ist recht schwer da
> überhaupt irgendeinen Zusammenhang sich reindenken zu
> wollen.
Doch, Ableitungen kennt man da sehr wohl! Allerdings haben kleiner oder groesser keine Bedeutung; insofern macht es keinen Sinn von Extrem- oder Wendestellen zu reden.
Man ist eigentlich nur an den Ableitungsnullstellen des char. Polynoms interessiert, wenn das Polynom dort selber vorher auch eine Nullstelle hatte: dies liefert dann die (algebraische) Vielfachheit (bzw. ob die Vielfachheit 1 oder [mm] $\ge [/mm] 2$ ist).
LG Felix
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> Von so einem Hintergrund habe ich noch nie gehört. Und ich
> glaube auch, dass es ihn gar nicht gibt.
Wenn es den nicht gäbe, dann wäre der Begriff nicht seit über
hundert Jahren in der Mathematik verankert.
> Es ist eigentlich wirklich bloß hauptsächlich ein
> Hilfsmittel zur Berechnung der Eigenwerte.
Für den mathematischen "Normalverbraucher" wohl schon.
> in der Algebra kennt man
> keine Ableitungen, etc., d.h. es ist recht schwer da
> überhaupt irgendeinen Zusammenhang sich reindenken zu
> wollen.
Das mag nicht so leicht sein, so wie das halt in manchen
Dingen so ist - übrigens nicht nur in der Mathematik !
Da ich mich mit dem Thema "charakteristisches Polynom"
einer Matrix schon lange nicht mehr beschäftigen musste,
habe ich jetzt zwar auch nicht gerade eine fixfertige
Antwort zur Verfügung - auch ich müsste dafür zuerst
"über die Bücher".
LG
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ich weiss jetzt immer noch nicht, was das charakteristische polynom nun
ueber die matrix aussagt...
(bitte nicht wieder mit nullstellen anfangen, das wusste ich alles schon)
ich wollte wissen was mit dem rest ist, abgesehen von nullstellen.
mfg claudius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 20.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> ich weiss jetzt immer noch nicht, was das charakteristische
> polynom nun
> ueber die matrix aussagt...
Es ist wie Felix ja gesagt hat auch für Hauptraumzerlegung mit zu gebrauchen. Rein algebraisch kann man sich dann anschauen wie das Polynom in entsprechenden Erweiterungskörpern zerfällt und dann Rückschlüsse auf "Normalformen" der Matrix ziehen. So zB kann man über [m]\IR[/m] die Matrix so zerlegen, dass neben den Jordanblöcken noch [m]2\times 2[/m]-Matrizen vorkommen. Da [m]\IC[/m] algebraisch abgeschlossen ist, kann man die Matriz immer in Jordan-Normalform bringen.
> ich wollte wissen was mit dem rest ist, abgesehen von
> nullstellen.
Welcher Rest? Extrema und Wendepunkte? Aber das macht in vielen Fällen doch keinen Sinn. Was sollen die Ergebnisse denn über endlichen Körpern bringen? Über [m]\IC[/m] gibt es auch keine lokalen Extrema (Offenheitssatz der Funktionentheorie). Über [m]\IQ[/m] kann es doch passieren, dass die Extrema nicht mehr in [m]\IQ[/m] sind (hoffe ich mal, ich hab mir kein genaues Beispiel überlegt.)
Aber das meiste, was man in linearer Algebra macht, legt lediglich einen Körper als solchen zu Grunde. Du kannst hier also nur nach Eigenschaften fischen, die mit der speziellen Struktur von [m]\IR[/m] zu tun hat. Nun gut, ich kenne hier keine - aber in die Richtung solltest du dann arbeiten oder suchen!
SEcki
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ich hatte urspruenglich ueberlegt, ob mir eine kurvendiskusion des
charakteristischen polynoms irgendeinen hinweis auf die eigenschafter
der matrix geben kann,
dass es da in [mm] \IC [/mm] probleme gibt hatte ich nicht bedacht.
danke fuer die zeit und muehe!
mfg claudius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > ich wollte wissen was mit dem rest ist, abgesehen von
> > nullstellen.
>
> Welcher Rest? Extrema und Wendepunkte? Aber das macht in
> vielen Fällen doch keinen Sinn. Was sollen die Ergebnisse
> denn über endlichen Körpern bringen? Über [m]\IC[/m] gibt es auch
> keine lokalen Extrema (Offenheitssatz der
> Funktionentheorie). Über [m]\IQ[/m] kann es doch passieren, dass
> die Extrema nicht mehr in [m]\IQ[/m] sind (hoffe ich mal, ich hab
> mir kein genaues Beispiel überlegt.)
Also [mm] $x^2 [/mm] - 2$ hat ja keine Nullstelle in [mm] $\IQ$, [/mm] womit [mm] $\frac{1}{3} x^3 [/mm] - 2 x$ keine rationale Extremstelle hat (jedoch zwei irrationale: [mm] $\pm \sqrt{2}$).
[/mm]
> Aber das meiste, was man in linearer Algebra macht, legt
> lediglich einen Körper als solchen zu Grunde. Du kannst
> hier also nur nach Eigenschaften fischen, die mit der
> speziellen Struktur von [m]\IR[/m] zu tun hat. Nun gut, ich kenne
> hier keine - aber in die Richtung solltest du dann arbeiten
> oder suchen!
Also: das charakteristische Polynom (ueber [mm] $\IR$) [/mm] ist eindeutig beschrieben durch die Nullstellen (in [mm] $\IC$) [/mm] zusammen mit ihren Vielfachheiten. (Das gilt ganz allgemein fuer jedes normierte Polynom ueber [mm] $\IR$.)
[/mm]
Alle weiteren Eigenschaften, also Extrempunkte, Wendestellen, ... sind sozusagen Funktionen von diesen Daten (Nullstellen und Vielfachheiten). Sie liefern dir hoechstens etwas Informationen ueber die Lage der Nullstellen (und ihrer Vielfachheiten). Sie liefern dir also niemals mehr Wissen als das, was du durch die Lage der Nullstellen eh schon hast.
LG Felix
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