was ist "extremal"? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Di 21.09.2004 | | Autor: | Be123 |
Hallo!
Jemand hat mir eine Aufgabe gezeigt, aber ich verstehe noch nicht einmal die Frage!
Ein zur Y-Achse symetrisches Dreieck, hat den Koordinatenursprung als eine Ecke , die beiden anderen Ecken P1 und P2 liegen auf dem Graph von F . Für welche Lage von P1 (1Quadrant) ist der Flächeninhalt des Dreieckes Extremal.
wie soll ich hier eine Beziehung zwischen der Fläche des Dreiecks und einem Punkt auf der Parabel herstellen?
Danke für den Nachhilfe-Unterricht!
Übrigens: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Be123,
> Hallo!
> Jemand hat mir eine Aufgabe gezeigt, aber ich verstehe
> noch nicht einmal die Frage!
>
> Ein zur Y-Achse symetrisches Dreieck, hat den
> Koordinatenursprung als eine Ecke , die beiden anderen
> Ecken P1 und P2 liegen auf dem Graph von F . Für welche
> Lage von P1 (1Quadrant) ist der Flächeninhalt des Dreieckes
> Extremal.
>
> wie soll ich hier eine Beziehung zwischen der Fläche des
> Dreiecks und einem Punkt auf der Parabel herstellen?
> Danke für den Nachhilfe-Unterricht!
Was ist denn bei dir die Funktion F? Die Normalparabel?
Nehmen wir mal an, dem wäre so. Wir betrachten den Punkt P1 in Abhängigkeit des Parameters $x$. Dann hat der Punkt P1 doch die Koordinaten:
$P1(x;F(x))$, und wenn $F$ die Normalparabel ist, dann gilt doch:
$F(x)=x²$, mit anderen Worten, es ist:
$P1(x;x²)$
Was hat nun der Punkt $P1$ mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zu tun? Nun, da das Dreieck punktsymmetrisch zur $y-Achse$ ist, ist die $y$-Koordinate von P1 gerade die Höhe des Dreiecks.
Wegen der $y$-Achsensymmetrie des Dreiecks ist die Seite, auf die die eben genannte Höhe steht, bei gegebenem $x$ gerade $2x(=x+x)$ lang. Die zugehörige Höhe war $F(x)=x²$. Also hat das Dreieck folgenden Flächeninhalt $A(x)$ (in Abhängigkeit von $x$):
[mm] $A(x)=\frac{(2x)*x²}{2}=x^3$
[/mm]
[Bemerkung: Du kennst ja (hoffentlich) die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
Ist $g$ (das ist ein g, keine 9  ) die Grundseite des Dreiecks und [mm] $h_g$ [/mm] die Höhe, die auf $g$ steht, dann berechnet sich der Flächeninhalt des Dreiecks zu:
[mm] $\frac{g*h_g}{2}$. [/mm] In unserem speziellen Fall ist:
$g=2x$ und [mm] $h_g=F(x)=x²$]
[/mm]
Das Problem dabei ist nur, dass gilt:
$A'(x)=3x²$ und damit:
[mm] $A'(x_E)=0$
[/mm]
(mit [mm] $x_E$ [/mm] bezeichne ich die lokale(n) Extremstelle(n))
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_E=0$ [/mm] und [mm] $x_E=0$ [/mm] ist aber eine Wendestelle und keine Extremstelle (von $A(x)$).. Daher wäre der Flächeninhalt des Dreiecks in diesem Fall maximal im Unendlichen (weil [mm] $x^3$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht bei $x$ gegen [mm] $\infty$) [/mm] und minimal bei $x=0$.
Entweder habe ich also einen groben Denkfehler in meinen Überlegungen (ich werde das gleich nochmal kontrollieren) oder aber deine Funktion $F$ ist nicht die Normalparabel. Könntest du sie dann bitte konkret angeben?
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Be123,
ich habe jetzt versucht, dir eine Skizze zur Aufgabe anzufertigen (mit Paint). Du wirst sehen, dass ich zeichnerich total unbegabt bin (zumindest am PC), aber ich hoffe, du erkennst, wie das ganze zu verstehen ist.
Vielleicht erbarmt sich ja eine(r) (vielleicht Paul(us)?) und liefert die das ganze mal ordentlich...
Es ist $P2(-x;F(x))$, weil das Dreieck symmetrisch zur $y$-Achse ist . Achja, es war $P1(x;F(x))$, weil der Punkt $P1$ auf dem Graphen von $F$ liegen soll nach Aufgabenstellung. Ich glaube, das hatte ich vorher nicht erwähnt...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: bmp) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Be123 |
Die sieht doch sehr gut aus! Vielen Dank für die Mühe. Ich weiß, dass sowas in Paint eine ruhige Hand erfordert.
Ich habe allerdings vergessen, dass die Funktion um 1 nach oben verschoben ist:
[mm]f(x) = x^{2}+1[/mm]
hmm, wenn ich das jetzt richtig deute, soll [mm]f(x) = 1/1+x^{2}[/mm] in echt [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] sein.
Eine Klammer, und die Funktion ist eine komplett andere! Tut mir leid, dass mir das erst jetzt auffällt!
![[]](/images/popup.gif) Skizze (wie binde ich ein externes Bild ein?)
(Antwort dazu: Marcel: siehe https://matheraum.de/forumbedienung [mm] $\rightarrow$ [/mm] " (erste hochgeladene Datei, direkt eingebunden als Bild)"))
Wenn ich jetzt die Fläche des Dreiecks bestimmen möchte, müsste das doch so aussehen:
[mm] A(x)=\frac{2x}{2\cdot(x^{2}+1)}=\frac{x}{x^{2}+1}
[/mm]
Ah, wenn ich mir die Aufgabenstellung noch mal durchlese, verstehe ich sie jetzt, denke ich. Die Frage ist, welche Lage P1 (oder P2) annehmen muss, damit der Flächeninhalt des Dreiecks am größten ist. Warum steht da in Klammern "(1Quadrant)"?
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt die Ableitung bilden:
[mm]A'(x)=\bruch{-2}{x^{3}+x}[/mm] stimmt das??? Und was muss ich jetzt damit machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Be123
> Die sieht doch sehr gut aus! Vielen Dank für die Mühe. Ich
> weiß, dass sowas in Paint eine ruhige Hand erfordert.
> Ich habe allerdings vergessen, dass die Funktion um 1 nach
> oben verschoben ist:
> [mm]f(x) = x^{2}+1[/mm]
Und dann erst noch [mm] $\bruch{1}{f(x)}$ [/mm] ?
> hmm, wenn ich das jetzt richtig deute,
> soll [mm]f(x) = 1/1+x^{2}[/mm] in echt [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
> sein.
> Wenn ich jetzt die Fläche des Dreiecks bestimmen möchte,
> müsste das doch so aussehen:
> [mm]A(x)=\frac{2x}{2\cdot(x^{2}+1)}=\frac{x}{x^{2}+1}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ah, wenn ich mir die Aufgabenstellung noch mal durchlese,
> verstehe ich sie jetzt, denke ich. Die Frage ist, welche
> Lage P1 (oder P2) annehmen muss, damit der Flächeninhalt
> des Dreiecks am größten ist. Warum steht da in Klammern
> "(1Quadrant)"?
Wahrscheinlich, damit man den Punkt rechts oben mit $P1$ bezeichnet, und nicht jenen links oben.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt die
> Ableitung bilden:
> [mm]A'(x)=\bruch{-2}{x^{3}+x}[/mm] stimmt das??? Und was muss ich
Oh, das glaube ich nicht. Es gilt doch: [mm] $(\bruch{f}{g})' [/mm] = [mm] \bruch{f'g-fg'}{g^{2}}$
[/mm]
Kannst du das nochmals nachrechnen?
> jetzt damit machen?
>
Dann musst du nur noch schauen, wo denn die 1. Ableitung Null wird.
Also die Gleichung
$A'(x) = 0$ nach $x$ auflösen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Be123 |
ok, nochmal ganz langsam...
[mm]A(x)=\frac{x}{x^{2}+1}[/mm]
[mm]A'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}+1)-(x\cdot2x)}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
[mm]A'(x)=\frac{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
Nullsetzen:
$ A'(x) = 0 [mm] \rightarrow -x^{2}+1 [/mm] = 0 $
[mm]x^{2} = 1[/mm]
[mm]x_{1,2} = \pm1[/mm]
und noch den y-Wert für Punkt P1 oder P2
[mm]f(\pm1) =\frac{1}{\pm1^{2}+1} = \bruch{1}{2}[/mm]
[mm]P_{1}(1|\bruch{1}{2})[/mm]
[mm]P_{2}(1|\bruch{-1}{2})[/mm]
Ich hoffe, ich habe nicht wieder tausend Fehler bei der Ableitung gemacht... vielen DANK!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Be123,
ich habe deine Frage, wie man ein externes Bild einbindet, innerhalb deiner letzten Frage beantwortet. Hier habe ich nun dein Bild hochgeladen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Be123 |
Ich hatte vor dem Absenden des Artikels verzweifelt nach einer Möglichkeit für einen Bild-Upload gesucht. Der Java-Script Code unterhalb des Eingabefelds funktioniert bei mir nicht. Jetzt habe ich gesehen, dass man das Bild auch im Nachhinein noch hochladen kann. danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Andi |
Also mich erinnert die Skizze schon fast an moderne Kunst.
Diese kräftigen Farben und expressionistisch geschwungenen Linien.
Ein Meisterwerk *g*
Wenn ich darf, werd ich es mir gleich mal runterladen und als Desktophintergrund benutzen.
Mit freundlichen Grüßen, Andi
|
|
|
|
![[]](http://www.schoolwork.de/be/dreieck_extremal.gif){kind=small}
Skizze![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Yeahhh, alles richtig. Herzliche Gratulation!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
