was stimmt? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 23.10.2007 | | Autor: | engel |
[mm] -(x-1)^3
[/mm]
Welche Abletung stimmt?
a) -3(x-1)²
b) [mm] x^3 [/mm] - 3x² + 3x - 1
danke!
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> [mm]-(x-1)^3[/mm]
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> Welche Abletung stimmt?
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> a) [mm] $-3(x-1)^2$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtige Anwendung der Kettenregel möchte ich einmal vermuten...
>
> b) [mm] $x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 3x - 1$
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dies hier ist nichts anderes als [mm] $(x-1)^3$ [/mm] (ausmultipliziert), aber sicher nicht die Ableitung von [mm] $-(x-1)^3$: [/mm] denn die Ableitung des Polynoms 3. Grades [mm] $-(x-1)^3$ [/mm] muss ein Polynom vom 2. Grad sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 23.10.2007 | | Autor: | engel |
Hallo!
okay danke, jetzt habe ich
f'(x) = -3x² + 6x - 3
jetzt soll ich die monotonieintervalle bestimmen.
dazu muss ich doch überprüfen ob die funktion irgendwo kleiner 0 wird oder eben nicht.
in meinen unterlagen steht nun über streng monoton wachsend, aber wenn ich für x z.B 0 einsetze ist die ableitung doch -3!?
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> Hallo!
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> okay danke, jetzt habe ich
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> f'(x) = -3x² + 6x - 3
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> jetzt soll ich die monotonieintervalle bestimmen.
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> dazu muss ich doch überprüfen ob die funktion irgendwo
> kleiner 0 wird oder eben nicht.
Nee, um die Monotonie zu untersuchen musst Du nur das Vorzeichen der Ableitung $f'$ (nicht aber der Funktion $f$ selbst) an einer Stelle des Definitionsbereiches (der als stetig diff'bar angenommenen) Funktion beachten: ist es negativ, so ist die Funktion in einer hinreichend kleinen Umgebung der fraglichen Stelle streng monoton fallend; ist sie positiv, so ist die Funktion streng monoton wachsend. (Kurz: in einer hinreichend kleinen Umgebung einer Stelle, an der die Ableitung einer stetig diff'baren Funktion [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, ist das Monotonieverhalten der Funktion dasselbe, wie das Monotonieverhalten der Tangente an den Graphen an dieser Stelle.)
Warum kommt es auf das Vorzeichen von $f$ überhaupt nicht an? - Weil, wenn Du den Graphen von $f$ in der $y$-Richtung verschiebst, verändern sich zwar eventuell die Vorzeichen der $y$-Koordinaten (=Funktionswerte der diesem verschobenen Graphen entsprechenden Funktion), aber das Monotonieverhalten wird dadurch überhaupt nicht beeinflusst.
> in meinen unterlagen steht nun über streng monoton
> wachsend, aber wenn ich für x z.B 0 einsetze ist die
> ableitung doch -3!?
Tja, dies bedeutet also: in einer hinreichend kleinen Umgebung der Stelle $x=-3$ ist $f$ streng monoton fallend.
Salopp: Es ist im übrigen anschaulich klar, wie es um die Monotonie der kubischen Funktion [mm] $f(x)=-(x-1)^3$ [/mm] steht. Diese Funktion ist streng monoton fallend auf ganz [mm] $\IR$: [/mm] denn es handelt sich lediglich um die um 1 in $x$-Richtung verschobene und an der $x$-Achse gespiegelte Funktion [mm] $x\mapsto x^3$, [/mm] deren streng-monotones Wachsen auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] einigermassen bekannt sein dürfte...
Formal: Im Grunde musst Du die Lösungsmenge der Ungleichung $f'(x)<0$ bestimmen: dies ergibt das Intervall, auf dem $f$ streng monoton fallend ist.
Und dann noch die Lösungsmenge der Ungleichung $f'(x)>0$: dies ergibt das Intervall, auf dem $f$ streng monoton wachsend ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 23.10.2007 | | Autor: | engel |
hallo!
noch eine frage. die ableitung ist ja immer kleiner GLEICH 0.
Kann ich da sagen streng mo fallend, oder nur mo fallend?
Danke!
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> hallo!
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> noch eine frage. die ableitung ist ja immer kleiner GLEICH
> 0.
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> Kann ich da sagen streng mo fallend, oder nur mo fallend?
Streng monoton fallend, weil es sich hier nur um einen isolierten Punkt mit "horizontaler Tangente" (Ableitung 0) handelt. Wäre aber die Ableitung in einem ganzen Intervall gleich $0$, so wäre die Funktion nur (schwach) monoton fallend: das heisst im Innern eines solchen Intervalles effektiv konstant (aber nicht streng monoton fallend).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 23.10.2007 | | Autor: | engel |
hallo!
kann ich für f'(x)
statt
-3x² + 6x - 3
auch
x² - 2x + 1
schreiben?
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> hallo!
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> kann ich für f'(x)
>
> statt
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> -3x² + 6x - 3
>
> auch
>
> x² - 2x + 1
>
> schreiben?
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Wie kommst Du den da drauf? Diese beiden Polynomfunktionen sind jedenfalls alles andere als gleich (zwei Polynomfunktionen in der ausmultiplizierten, nach Potenzen von $x$ gesammelten Form sind dann und nur dann gleich, wenn alle ihre Koeffizienten entsprechender Potenzen von $x$ gleich sind).
[mm] $x^2-2x+1$ [/mm] ist ja gleich [mm] $(x-1)^2$ [/mm] und wäre somit stets [mm] $\geq [/mm] 0$. Eine Funktion mit der Ableitung [mm] $x^2-2x+1$ [/mm] wäre also streng monoton wachsend - und nicht, wie in Falle Deiner Aufgabe, streng monoton fallend.
Nachtrag (1. Revision): Aber es ist [mm] $-3x^2+6x-3=-3(x-1)^2$. [/mm] Vielleicht hast Du dies fragen wollen? Dies ist jedenfalls eine nach unten geöffnete Parabel, die die $x$-Achse im Scheitelpunkt $(1|0)$ von unten berührt.
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