wegzusammenhängend/zusammenhän < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Do 17.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Jeder wegzusammenhängende metrische Raum ist zusammenhängend. |
Hallo,
ich weiß nicht, welcher Ansatz besser ist, jedoch ich wollte mit dem indirekten Beweis versuchen.
Dazu muss man die Negation der rechten Seite ("Zusammenhang")bilden.
Definition des Zusammenhangs:
Es gibt keine Zerlegung der Menge M in zwei Mengen X,Y , die disjunkt, offen und nichtleer sind.
Die Negation wäre:
Es gibt eine Zerlegung in zwei disjunkte, offene und nichtleere Mengen. (Stimmt das ?)
Wie wird die Negation allgemein durchgeführt? Die Existenz-Quantoren werden in All-Quantoren umgewandelt......
Wie ist es mit "es gibt keine Zerlegung...... " ( es gibt keine - ist das ein Quantor ?). Bleibt die Aufzählung mit "und" (disjunkt und offen und nichtleer) auch bei der Negation mit "und"?
MfG
Igor
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Hallo Igor,
deine Frage ist wahrscheinlich nicht gut formuliert, denn offensichtlich ist ein zusammenhängendes (hier beliebiger Ausdruck) immer zusammenhängend.
Welche Zusammenhangseigenschaft eines metrischen Raumes willst du auf welche zurückführen?
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 17.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
sorry, ein Tippfehler,
Z.Z: Jeder wegzusammenhängende metrische Raum ist zusammenhängend.
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Hallo Igor,
deine Negation ist korrekt. Mach das lieber ohne Quantoren.
Also wir nehmen an, $M$ sei wegzusammenhängend. Dann gibt es für jedes Paar [mm] $(m_0,m_1)\in M\times [/mm] M$ eine stetige Abbildung $f$ vom Intervall [0,1] nach M, so dass [mm] $f(0)=m_0$ [/mm] und [mm] $f(1)=m_1$.
[/mm]
Weiterhin nehmen wir an, dass $M$ nicht zusammenhängend sei, das heißt, es gibt ein Paar $(X,Y)$ offener, nichtleerer Mengen mit [mm] $X\cup [/mm] Y=M$ und [mm] $X\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
Wir wählen nun [mm] $m_0\in [/mm] X$ und [mm] $m_1\in [/mm] Y$.
Mein Beweis stützt sich auf die folgende Aussage:
Sei $X$ offen in $M$ und sei $f$ eine stetige Abbildung mit [mm] $f(0)\in [/mm] X$, [mm] $f(1)\not\in [/mm] X$. Dann gilt [mm] $T_X:=\{t\in[0,1]:f(t)\in X\}$ [/mm] ist offen in $[0,1]$.
Die analog definierte Menge [mm] $T_Y$ [/mm] ist dann ebenfalls offen. [mm] $T_X$ [/mm] und [mm] $T_Y$ [/mm] sind beide nichtleer, sie sind disjunkt und es muss [mm] $T_X\cup T_Y=[0,1]$ [/mm] gelten.
Eine solche Zerlegung des Intervalls kann es nicht geben, denn eine Zahl $t$, die im Rand von [mm] $T_X$ [/mm] liegt, kann nicht in [mm] $T_X$ [/mm] enthalten sein, weil [mm] $T_X$ [/mm] offen ist. $t$ kann aber auch nicht in [mm] $T_Y$ [/mm] liegen, denn $t$ wäre dann Randpunkt von [mm] $T_Y$ [/mm] und [mm] $T_Y$ [/mm] ist ja offen. Es gibt also Punkte im Intervall $[0,1]$, die weder in [mm] $T_X$, [/mm] noch in [mm] $T_Y$ [/mm] liegen. Das widerspricht der Forderung [mm] $T_X\cup T_Y=[0,1]$.
[/mm]
Das war der Beweis, die oben besonders herausgestelle Aussage kann ich irgendwie nicht aus dem Stand beweisen. Die Vererbung der Offenheit von $X$ auf [mm] $T_X$ [/mm] ist der Kern des Beweises.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Hugo,
eine Zwischenfrage:
kann man beliebiges Intervall für eine stetige Abbildung nehmen,und warum?(wie viel dimensional kann das Intervall sein?)
Definition des "Wegzusammenhanges":
Zu je zwei Punkten a,b [mm] \in [/mm] M gibt es eine stetige Abbildung
[mm] y:[\alpha,\beta]\to [/mm] M mit [mm] y(\alpha)=a [/mm] und [mm] y(\beta)=b.(Skript)
[/mm]
Also, kann man beliebige Werte für [mm] \alpha, \beta [/mm] einsetzen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Hugo,
>
> eine Zwischenfrage:
>
> kann man beliebiges Intervall für eine stetige Abbildung
> nehmen,und warum?(wie viel dimensional kann das Intervall
> sein?)
das ist ein Intervall in [mm] $\IR$.
[/mm]
> Definition des "Wegzusammenhanges":
>
> Zu je zwei Punkten a,b [mm]\in[/mm] M gibt es eine stetige
> Abbildung
>
> [mm]y:[\alpha,\beta]\to[/mm] M mit [mm]y(\alpha)=a[/mm] und
> [mm]y(\beta)=b.(Skript)[/mm]
>
> Also, kann man beliebige Werte für [mm]\alpha, \beta[/mm]
> einsetzen?
Wichtig ist die Kompaktheit von [mm] $[\alpha,\beta]$. [/mm] Ist Dir das klar? Und mit einer einfachen Substitution kannst Du ein nichtleeres kompaktes Intervall stets stetig in ein anderes überführen:
D.h., wenn [mm] $\gamma: [\alpha_1,\beta_1] \to [/mm] M$ stetig ist mit [mm] $\gamma(\alpha_1)=a$ [/mm] und [mm] $\gamma(\beta_1)=b$, [/mm] so kann ich damit eine weitere stetige Funktion
[mm] $\gamma\,' [/mm] : [mm] [\alpha_2,\beta_2] \to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma\,'(\alpha_2)=a$ [/mm] und [mm] $\gamma\,'(\beta_2)=b$ [/mm] angeben.
Einzige Voraussetzung:
Das Intervall [mm] $[\alpha_2, \beta_2]$ [/mm] darf im Falle $a [mm] \not=b$ [/mm] nicht einpunktig sein.
Konstruktion:
Ohne Einschränkung nehmen wir $a,b [mm] \in [/mm] M$ mit $a [mm] \not=b$ [/mm] an. Dann muss auch [mm] $\alpha_1 \not= \beta_1$ [/mm] gelten (Warum?).
Wir machen zunächst den affin-linearen Ansatz
$t: [mm] [\alpha_1,\beta_1] \to [\alpha_2,\beta_2]$
[/mm]
mit $t(x):=mx+n$ und [mm] $t(\alpha_1)=\alpha_2$ [/mm] und [mm] $t(\beta_1)=\beta_2$.
[/mm]
Das liefert [mm] $m=\frac{\beta_2-\alpha_2}{\beta_1-\alpha_1}$ [/mm] und [mm] $\alpha_2=\frac{\beta_2-\alpha_2}{\beta_1-\alpha_1}*\alpha_1+n \gdw n=\alpha_2-\frac{\beta_2-\alpha_2}{\beta_1-\alpha_1}*\alpha_1$
[/mm]
Offenbar gilt dann nach Konstruktion, dass die Abbildung $t$, definiert duch
[mm] $t(x)=\frac{\beta_2-\alpha_2}{\beta_1-\alpha_1}*x+\alpha_2-\frac{\beta_2-\alpha_2}{\beta_1-\alpha_1}*\alpha_1$
[/mm]
mit Definitionsbereich [mm] $D_t=[\alpha_1,\beta_1]$ [/mm] erfüllt:
[mm] $t(\alpha_1)=\alpha_2$
[/mm]
Zudem:
[mm] $t(\beta_1)=\beta_2-\alpha_2+\alpha_2=\beta_2$
[/mm]
Außerdem gilt:
$t: [mm] [\alpha_1,\beta_1] \to [\alpha_2,\beta_2]$ [/mm] ist stetig und bijektiv (Warum?), ebenso gilt das für die Umkehrabbildung [mm] $t^{-1}:[\alpha_2,\beta_2] \to [\alpha_1,\beta_1]$
[/mm]
(Ich hätte hier eigentlich besser direkt [mm] $t^{-1}$ [/mm] konstruieren sollen. Aber das kannst Du Dir mit obigem $t$ auch alles leicht überlegen.)
Nun zu der eigentlichen Aussage:
Seien $a,b [mm] \in [/mm] M$.
Sei [mm] $\gamma: [\alpha_1,\beta_1] \to [/mm] M$ eine stetige Abbildung mit [mm] $\gamma(\alpha_1)=a$ [/mm] und [mm] $\gamma(\beta_1)=b$. [/mm] Im Falle $a=b$ betrachten wir
[mm] $\gamma\,': [\alpha_2,\beta_2] \to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma\,'(t):=a$ [/mm] für $t [mm] \in [\alpha_2,\beta_2]$.
[/mm]
[mm] $\gamma\,'$ [/mm] ist insbesondere stetig mit
[mm] $\gamma\,'(\alpha_2)=\gamma\,'(\beta_2)=a=b$.
[/mm]
O.E. sei also $a [mm] \not=b$. [/mm] Dann ist auch [mm] $\alpha_1 \not= \beta_1$. [/mm] Sei nun [mm] $[\alpha_2,\beta_2]$ [/mm] nicht einpunktig. Wir wählen eine stetige Bijektion $b: [mm] [\alpha_2,\beta_2] \to [\alpha_1, \beta_1]$ [/mm] mit [mm] $b(\alpha_2)=\alpha_1$ [/mm] und [mm] $b(\beta_2)=\beta_1$.
[/mm]
(Solch' eine existiert, im Zweifelsfalle wähle man [mm] $b=t^{-1}$ [/mm] von oben.)
Wir betrachten [mm] $\gamma\,': [\alpha_2,\beta_2] \to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma\,':= \gamma \circ [/mm] b$. Dann gilt:
[mm] $\gamma\,'$ [/mm] ist stetig, [mm] $\gamma\,'(\alpha_2)=\gamma(b(\alpha_2))=\gamma(\alpha_1)=a$ [/mm] und
[mm] $\gamma\,'(\beta_2)=\gamma(b(\beta_2))=\gamma(\beta_1)=b$
[/mm]
Konsequenz:
Wenn es zu zwei Punkten $a,b [mm] \in [/mm] M$ eine stetige Abbildung [mm] $\gamma: [\alpha,\beta] \to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma(\alpha)=a$ [/mm] und [mm] $\gamma(\beta)=b$ [/mm] gibt, so gibt es auch eine stetige Abbildung
[mm] $\gamma: [\alpha_1,\beta_1] \to [/mm] M$ mit [mm] $\gamma(\alpha_1)=a$ [/mm] und [mm] $\gamma(\beta_1)=b$ [/mm] mit [mm] $\alpha_1 \not= \beta_2$, $\alpha_1, \beta_2 \in \IR$
[/mm]
Überlege Dir kurz zu Deiner Frage, dass damit gilt:
Man kann für $a,b [mm] \in [/mm] M$, wenn ein Weg [mm] $\gamma$ [/mm] mit Definitionsbereich [mm] $D_\gamma$ [/mm] zwischen $a,b$ existiert, dann immer o.E. [mm] $D_\gamma=[\alpha,\beta]$ [/mm] mit beliebigen, festen [mm] $\alpha,\beta \in \IR$ [/mm] und [mm] $\alpha \not=\beta$ [/mm] annehmen.
Also:
o.E. sei [mm] $D_\gamma=[0,1]$
[/mm]
oder
o.E. sei [mm] $D_\gamma=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$
[/mm]
oder
o.E. sei [mm] $D_\gamma=[-\pi,\sqrt{10}]$
[/mm]
Was Du i.a. nicht machen darfst (da i.a. $a,b [mm] \in [/mm] M$ mit $a [mm] \not=b$), [/mm] wäre z.B.:
o.E. sei [mm] $D_\gamma=[1,1]=\{1\}$
[/mm]
P.S.:
Bitte oben nicht [mm] $\gamma\,'$ [/mm] als Ableitung von [mm] $\gamma$ [/mm] lesen. Ich hätte die Abbildung vll. besser auch anders nennen sollen, aber nun gut, jetzt habe ich ja auch darauf hingewiesen 
Gruß,
Marcel
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