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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - weitere Aufgabe JordanNF
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weitere Aufgabe JordanNF: Frage zur Größe der Kästchen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Mi 19.03.2008
Autor: Cabby

Aufgabe
Bestimme die Jordannormalform von

A = [mm] \pmat{2&1&1&0&-2\\1&1&1&0&-1\\1&0&2&0&-1\\1&0&1&2&-2\\1&0&1&0&0} [/mm]

Mojn. Ich habe hier noch mal ein Problem, und zwar bei der Bestimmung der Größe der Kästchen ohne das Minimalpolynom zu benutzen
Bitte rechnet das nicht nach, die Aufgabe soll mir nur das Verständnis vermitteln und ist bis auf Tippfehler richtig.

[mm] P_B(t) [/mm] = - [mm] (t-2)^2(t-1)^3 [/mm]

=>B-2E berechnet und dann umgeformt -> [mm] \pmat{1&0&0&0&-1 \\0&1&0&0&-1 \\ 0&0&1&0&-1 \\0&0&0&0&0 \\0&0&0&0&0} [/mm]

Der Rang der Matrix ist gleich 3 und der Kern zweidimensional.
Die Basis des Kerns sind hier die Eigenvektoren

[mm] v_1 [/mm] = (0,0,0,1,0) und [mm] v_2=(1,1,1,0,1) [/mm]


Für den Eigenwert 1 berechne ich es nochmal

B-E -> Umformung [mm] \pmat{1&0&1&0&-1 \\0&1&0&0&-1 \\0&0&0&1&-1 \\0&0&0&0&0 \\ 0 & 0 &0&0&0} [/mm]

Dadurch erhält man wieder zwei Eigenvektoren

[mm] w_1 [/mm] = (0,1,1,1,1) und [mm] w_2 [/mm] = (1,1,0,1,1).

Für Die Basis der ergänze ich einfach mit einem Vektor, der durch B-E in den durch [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] aufgespannten Unterraum abgebildet wird,

x= (1,-1,0,0,0)

Damit ergibt sich dann

[mm] S^{-1}BS [/mm] = [mm] \pmat{2 &&&& \\ & 2 & && \\ & & 1 & 1 & \\ & & 0 & 1 & \\ &&&&1} [/mm]

Mit dem Minimalpolynom [mm] (t-2)(t-1)^2 [/mm] ist mir klar, warum wir 3 einer Blöcke und einen 2er haben. Aber das wurde uns bei der Lösung der Aufgabe untersagt, das zu benutzen.

Wie komme ich auf die Größe der Blöcke? Das Thema macht mich wahnsinnig!

        
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weitere Aufgabe JordanNF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mi 19.03.2008
Autor: andreas

hi

> Damit ergibt sich dann
>  
> [mm]S^{-1}BS[/mm] = [mm]\pmat{2 &&&& \\ & 2 & && \\ & & 1 & 1 & \\ & & 0 & 1 & \\ &&&&1}[/mm]
>  
> Mit dem Minimalpolynom [mm](t-2)(t-1)^2[/mm] ist mir klar, warum wir
> 3 einer Blöcke und einen 2er haben. Aber das wurde uns bei
> der Lösung der Aufgabe untersagt, das zu benutzen.
>  
> Wie komme ich auf die Größe der Blöcke?

du hast oben bestimmt, dass der eigenraum zum eigenwert $1$ zweidimensional ist, diese dimension gibt die anzahl der jordankästchen zum eigenwert $1$ an, es gibt also zwei kästchen. da die algebraische vielfachheit des eigenwert $1$ aber drei ist, gibt es nur die möglichkeit, wie hier angegeben.


grüße
andreas

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weitere Aufgabe JordanNF: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Mi 19.03.2008
Autor: Cabby

Hallo andreas.

Dankeschön für die Antwort

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