welches Kriterium? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:48 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Verzweifelte |
Ich hoffe, es kann mir einer sagen, welches Kriterium ich anwenden muss für die untere Aufgabe.
Denn ich hab schon mit Majorantenkriterium, Quotientenkriterium probiert. Aber ich komm nicht weiter.
ich finde keine passende Majorante für diese Reihe, so dass ich am Ende die geometrische Reihe anwenden kann.
[mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{( -1)^{m}}{m}
[/mm]
|
|
| |
|
Hi!
Was sollst du denn zeigen??
Wenn du nur Konvergenz zeigen sollst, dann nimm doch das Leibnitzkriterium.
Es ist außerdem klar, dass du bei dieser Reihe nicht das Majoranden bzw. Quotientenkriterium anwenden kannst, da die Reihe ja gar nicht absolut konvergiert.
mfg Verena
|
|
|
| |
|
Hallo Verena,
danke, dass du mir helfen möchtest.
ich soll einfach untersuchen, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.
Ich weiß, noch nicht einmal ob sie konvergiert oder divergiert. In der Vorlesung haben wir bis jetzt nur Majoranten und Quotientenverfahren gemacht. Woran kann man denn sehen, ob diese Reihe absolut konvergiert oder nicht? Wie geht das Leipnitzverfahren? Ich kenne dieses Verfahren nicht.
kannst du mir vielleicht erklären, wie dieses Leipnitzverfahren geht? Das wäre echt nett von dir.
Weil ich versuch das jetzt die ganze Zeit mit Majorandenverfahren und komm auf keinen grünen Zweig.
Danke dir,
die Verzweifelte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Sa 20.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi!
Leibnitzkriterium:
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0. [/mm] Dann konvergiert die alternierende Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^na_n [/mm]
Aber wenn ihr das Leibnitzkriterium noch nicht hattet, darfst du es wahrscheinlich auch nicht anwenden.
Allerdings kann man mit dem Majoranten btw. Quotientenkriterium nur zeigen, dass eine Reihe absolut konvergent ist. Habt ihr denn keine Kriterien behandelt, mit denen man die Konvergenz einer Reihe zeigen kann?
mfg Verena
|
|
|
| |
|
Hallo Verena,
danke dir für deine Tipps.
Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich das Leipnitzkriterium anwenden soll, da keine Aussage über die Folge [mm] a_{n} [/mm] getroffen wurde. Ich soll nur untersuchen, ob diese Reihe konvergiert oder nicht.
Ich hab irgendwie gelernt, dass absolute Konvergenz Konvergenz impliziert. D.h. doch dass wenn ich absolute Konvergenz gezeigt hab, dann konvergiert auch die Reihe oder nicht??
Aber ich komm nicht weiter mit Majoranten- oder Quotientenkriterium, weil ich entweder keine passende Majorante finde oder eine Schranke zwischen 0 und 1 für das Quotientenkriterium.
Wir haben aber auch noch das Cauchy-Kriterium gelernt. Dafür muss ich aber eine andere Reihe wissen, so dass deren Folgenglieder größer sind als der Betrag der folgenglieder meiner Reihe [mm] \summe_{m=1}^{ \infty} \bruch{ (-1)^{m}}{m}.
[/mm]
Ich hoffe, du kannst mir weiter helfen.
Die total Verzweifelte
|
|
|
| |
|
Hallo Verzweifelte,
zunächst einmal: der Mensch hieß Leibniz. 
Um das Leibnizkriterium anwenden zu können, brauchst du eine Reihe der Form: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^na_n[/mm].
Hast du so eine Reihe? Aber klar doch!
[mm]\summe_{m=1}^{\infty}\bruch{(-1)^m}{m} = \summe_{m=1}^{\infty}(-1)^m\bruch{1}{m}[/mm].
Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm], die du jetzt also untersuchen musst, ist einfach die Folge [mm]\left(\bruch{1}{m}\right)_{m\in\IN}[/mm]. Wenn du nun zeigen kannst, dass dies eine monoton fallende Nullfolge ist (und das ist sie sicher), ist das Leibnizkriterium erfüllt.
Was du über die absolute Konvergenz gesagt hast (dass daraus auch Konvergenz folgt), ist zwar richtig, hilft hier aber nicht, da diese Reihe nicht absolut konvergiert (Stichwort: Harmonische Reihe). Deshalb kannst du mit Majoranten- und Quotientenkriterium gar nicht weiterkommen, weil diese nur bei absolut konvergenten Reihen anwendbar sind.
Dass du für das Cauchy-Kriterium eine zweite Reihe zum Vergleich brauchst, ist übrigens nicht richtig (das war das Majorantenkriterium!) - das solltest du dir vielleicht noch einmal genau anschauen.
Gruß,
- Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
macht es nicht etwas aus, dass die reihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n} a_{n} [/mm] mit Null anfängt, aber meine Reihe [mm] \summe_{m=1}^{ \infty}(-1)^{n} \bruch{1}{m} [/mm] mit 1 anfängt?
Kann ich dann trotzdem das Leibnitzkriterium anwenden?
Ich hab schon mit deiner Hilfe gezeigt, dass die Folge [mm] \bruch{1}{m} [/mm] eine Nullfolge ist. Reicht das, oder muss ich auch zeigen, dass sie monoton fallend ist? Oder folgt aus dem Beweis der Nullfolge automatisch, dass die Folge monoton fallen ist?
Wenn nein, wie zeigt man denn, dass die Folge monoton fallend ist?
Danke für deine Hilfe.
Die Verzweifelte
|
|
|
| |
|
Hallo Verzweifelte,
ob die Reihe bei 0 oder bei 1 anfängt, spielt keine Rolle für die Untersuchung, ob sie konvergiert - es ist lediglich entscheidend für die Untersuchung, gegen welchen Wert sie konvergiert.
Für das Leibnizkriterium reicht es nicht aus, dass die Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm] eine Nullfolge ist, sie muss schon auch monoton fallend sein. Was Monotonie bedeutet, solltet ihr aber eigentlich schon besprochen haben: "monoton fallend" heißt, dass jedes Folgenglied immer kleiner oder gleich dem vorherigen Folgenglied ist.
Mathematisch heißt das: [mm]a_{n} \ge a_{n+1}\ \forall n\in\IN[/mm]
Für deine Folge [mm]\left(\bruch{1}{m}\right)[/mm] ist das eigentlich schon trivial:
[mm]\begin{matrix}
\bruch{1}{m} & \ge & \bruch{1}{m+1} \\
m & \le & m+1
\end{matrix}[/mm]
...und das ist offensichtlich wahr für alle [mm]m\in\IN[/mm].
Gruß,
- Marcel
|
|
|
|
