wie oft würfeln? < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 07.01.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | | Wie oft muss mit einem (1) Würfel mindestens gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, eine sechs (6) zu erzielen, größer als 50% ist? |
ich würd da ganz einfach sagen, dass die Wkt bei ...
.... 1x würfeln = 1/6 = 16,7 % ist
.... 2x würfeln = 1/6 = 33,3 % ist
.... 3x würfeln = 1/6 = 66,6 % ist
kann ich´s mir so einfach machen?
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Hi, pisty,
> Wie oft muss mit einem (1) Würfel mindestens gewürfelt
> werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, eine sechs (6)
> zu erzielen, größer als 50% ist?
> ich würd da ganz einfach sagen, dass die Wkt bei ...
>
> .... 1x würfeln = 1/6 = 16,7 % ist
> .... 2x würfeln = 1/6 = 33,3 % ist
> .... 3x würfeln = 1/6 = 66,6 % ist
>
> kann ich´s mir so einfach machen?
In diesem speziellen Fall könnte man's schon durch "Probieren" lösen - aber nicht so, wie Du's gemacht hast!
Bei zwei Würfen addiert sich doch nicht einfach die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 zu werfen! Dann hätte man ja z.B. bei 6 Würfen eine Wahrscheinlichkeit von 100%; d.h. wenn ich den Würfel 6 mal werfe, habe ich 100%ig eine 6 dabei! (Wer schon mal "Mensch-ärgere-Dich-nicht!" gespielt hat, weiß, dass das nicht stimmt!)
Zudem musst Du beachten, dass MINDESTENS eine 6 geworfen werden soll; also dürfen's auch mehrere sein!
Gehen wir die Aufgabe "allgemein" an:
Es handelt sich hierbei um eine typische Aufgabe zur Binomialverteilung bzw. Bernoulli-Kette.
Nennen wir die Anzahl der benötigten Würfe "n".
Die Trefferwahrscheinlichkeit ist natürlich [mm] p=\bruch{1}{6}
[/mm]
Nun geht man bei solchen Aufgaben praktisch immer vom Gegenereignis aus, also: "keine 6 wird geworfen".
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Wurf KEINE 6 zu kriegen,
ist [mm] q=\bruch{5}{6}.
[/mm]
Demnach ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei n Würfen kein einziges Mal die 6 zu kriegen:
[mm] (\bruch{5}{6})^{n}
[/mm]
Daher ist umgekehrt die Wahrscheinlichkeit dafür MINDESTENS EINE 6 zu kriegen:
1 - [mm] (\bruch{5}{6})^{n}
[/mm]
Und dies soll nun laut Aufgabenstellung mehr als 50%, also größer als 0,5 sein. Drum lautet der vollständige Ansatz zu Deiner Aufgabe:
1 - [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] > 0,5.
Das musst Du nun nach n auflösen.
Tipp: Du brauchst dazu einen Logarithmus!
mfG!
Zwerglein
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