(wieder) Kettenregel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
es sei: [mm] v(\xi,\eta):=u(x,t)=u(\frac{1}{2}(\xi+\eta),\frac{1}{2c}(\xi-\eta))
[/mm]
Nun soll berechnet werden:
[mm] \frac{\partial^2v}{\partial\xi\partial\eta}
[/mm]
Laut Lösung:
[mm] \frac{\partial^2v}{\partial\xi\partial\eta}=\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t})= \frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}-\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}-\frac{1}{4c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}
[/mm]
Ich denke, das erste Gleichheitszeichen verstehe ich:
[mm] \frac{\partial v}{\partial\eta} [/mm] = [mm] \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\eta}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial\eta}=\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t}
[/mm]
ist das richtig?
Das zweite Gleichheitszeichen kann ich mir aber nicht erklären.
Ich denke
[mm] \frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}
[/mm]
Wenn ich diese Hälfte verstanden hätte, könnte ich die andere Hälfte vermutlich analog lösen.
Meine Idee:
[mm] \frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})==\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}
[/mm]
Ist diese Idee richtig?
Ich habe folgende Kettenregel benutzt:http://www.mathepedia.de/Verallgemeinerte_Kettenregel.aspx
Ist das die richtige Kettenregel?
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
>
> es sei:
> [mm]v(\xi,\eta):=u(x,t)=u(\frac{1}{2}(\xi+\eta),\frac{1}{2c}(\xi-\eta))[/mm]
>
> Nun soll berechnet werden:
>
> [mm]\frac{\partial^2v}{\partial\xi\partial\eta}[/mm]
>
> Laut Lösung:
>
> [mm]\frac{\partial^2v}{\partial\xi\partial\eta}=\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t})= \frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}-\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}-\frac{1}{4c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}[/mm]
>
> Ich denke, das erste Gleichheitszeichen verstehe ich:
>
> [mm]\frac{\partial v}{\partial\eta}[/mm] = [mm]\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\eta}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial\eta}=\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t}[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja.
>
> Das zweite Gleichheitszeichen kann ich mir aber nicht
> erklären.
Nun, es ist
[mm]\bruch{\partial x}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2}(\xi+\eta) \ \right)=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]\bruch{\partial t}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2c}(\xi-\eta) \ \right)=-\bruch{1}{2c}[/mm]
>
> Ich denke
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> Wenn ich diese Hälfte verstanden hätte, könnte ich die
> andere Hälfte vermutlich analog lösen.
>
> Meine Idee:
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})==\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> Ist diese Idee richtig?
Leider nicht.
Betrachte hier wiederum:
[mm] \frac{\partial v}{\partial\eta} =\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t} =\bruch{1}{2}*u_{x}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right)=\bruch{1}{2}*u_{x}\left(\xi,\eta\right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left(\xi,\eta\right)[/mm]
Und differenziere mit Hilfe der Kettenregel nach [mm]\xi[/mm].
>
> Ich habe folgende Kettenregel
> benutzt:http://www.mathepedia.de/Verallgemeinerte_Kettenregel.aspx
> Ist das die richtige Kettenregel?
Diese Kettenregel gilt ja nur für einen Parameter t.
Ist aber sinngemäß auf mehrerere Parameter zu übertragen.
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 09.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
> > Das zweite Gleichheitszeichen kann ich mir aber nicht
> > erklären.
>
>
> Nun, es ist
>
> [mm]\bruch{\partial x}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2}(\xi+\eta) \ \right)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial t}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2c}(\xi-\eta) \ \right)=-\bruch{1}{2c}[/mm]
Ja, das ist mir klar, das habe ich ja schon beim ersten Gleichheitszeichen verwendet.
> > Ich denke
> > [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> >
> > Wenn ich diese Hälfte verstanden hätte, könnte ich die
> > andere Hälfte vermutlich analog lösen.
> >
> > Meine Idee:
> > [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})==\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> >
> > Ist diese Idee richtig?
>
>
> Leider nicht.
Was ist hier genau falsch?
> Betrachte hier wiederum:
>
> [mm]\frac{\partial v}{\partial\eta} =\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t} =\bruch{1}{2}*u_{x}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right)=\bruch{1}{2}*u_{x}\left(\xi,\eta\right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left(\xi,\eta\right)[/mm]
>
> Und differenziere mit Hilfe der Kettenregel nach [mm]\xi[/mm].
Eigentlich war ich der Meinung, genau dies gemacht zu haben. Kannst Du bitte ein Beispiel machen?
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
>
> > > Das zweite Gleichheitszeichen kann ich mir aber nicht
> > > erklären.
> >
> >
> > Nun, es ist
> >
> > [mm]\bruch{\partial x}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2}(\xi+\eta) \ \right)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial t}{\partial \eta}=\bruch{\partial}{\partial \eta}\left(\ \frac{1}{2c}(\xi-\eta) \ \right)=-\bruch{1}{2c}[/mm]
>
>
>
>
> Ja, das ist mir klar, das habe ich ja schon beim ersten
> Gleichheitszeichen verwendet.
>
>
>
>
> > > Ich denke
> > >
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn ich diese Hälfte verstanden hätte, könnte ich die
> > > andere Hälfte vermutlich analog lösen.
> > >
> > > Meine Idee:
> > >
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})==\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist diese Idee richtig?
> >
> >
> > Leider nicht.
>
>
>
> Was ist hier genau falsch?
>
Ich kann hier nur annehmen, daß Du
[mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)[/mm]
berechnen wolltest.
Zunächst ist
[mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)=\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial u}{\partial x} * \bruch{\partial x}{\partial \xi}+\bruch{\partial u}{\partial t}\bruch{\partial t}{\partial \xi} \ \right)[/mm]
,wobei
[mm]u_{x}=u_{x}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ t\left(\xi,\eta\right) \ \right)[/mm]
[mm]u_{t}=u_{t}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ t\left(\xi,\eta\right) \ \right)[/mm]
bedeuten.
Dann ist gemäß der Produktregel:
[mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)=\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+u_{x}*\bruch{\partial }{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial x}{\partial \xi}\ \right)+\bruch{\partial u_{t}}{\partial \xi}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}+u_{t}*\bruch{\partial }{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial t}{\partial \xi}\ \right)[/mm]
Auf [mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}[/mm] und [mm]\bruch{\partial u_{t}}{\partial \xi}[/mm] ist dann die Kettenregel anzuwenden.
>
>
> > Betrachte hier wiederum:
> >
> > [mm]\frac{\partial v}{\partial\eta} =\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t} =\bruch{1}{2}*u_{x}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left( \ x\left(\xi,\eta\right), \ y\left(\xi,\eta\right)\ \right)=\bruch{1}{2}*u_{x}\left(\xi,\eta\right) -\bruch{1}{2c}*u_{t}\left(\xi,\eta\right)[/mm]
>
> >
> > Und differenziere mit Hilfe der Kettenregel nach [mm]\xi[/mm].
>
>
> Eigentlich war ich der Meinung, genau dies gemacht zu
> haben. Kannst Du bitte ein Beispiel machen?
>
>
>
> Gruß,
> Rutzel
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Mathepower,
> Ich kann hier nur annehmen, daß Du
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)[/mm]
>
> berechnen wolltest.
>
eigentlich wollte ich [mm] \frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t}) [/mm] berechnen und das schrittweise, d.h. zuerst:
[mm] \frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x})
[/mm]
wie kommst du auf [mm] \bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right) [/mm] ?
(meinst du mit [mm] u_x [/mm] die ableitung von u nach x? oder die x-te komponente von u?)
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo Mathepower,
>
> > Ich kann hier nur annehmen, daß Du
> >
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)[/mm]
>
> >
> > berechnen wolltest.
> >
>
> eigentlich wollte ich
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2c}\frac{\partial u}{\partial t})[/mm]
> berechnen und das schrittweise, d.h. zuerst:
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}(\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x})[/mm]
Hier mußt Du [mm]u_{x}[/mm] bzw. [mm]u_{t}[/mm] nach der Kettenregel ableiten.
[mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}=\bruch{\partial u_{x}}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+ \bruch{\partial u_{x}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}=u_{xx}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+u_{xt}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}[/mm]
>
> wie kommst du auf [mm]\bruch{\partial}{\partial \xi}\left( \ \bruch{\partial v}{\partial \xi}\ \right)[/mm]
> ?
Ich habe hier ein [mm]\xi[/mm] stehen sehen.
[mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial v}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \blue{\xi}}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \blue{\xi}})[/mm]
> (meinst du mit [mm]u_x[/mm] die ableitung von u nach x? oder die
> x-te komponente von u?)
Mit [mm]u_{x}[/mm] meine ich die Ableitung von u nach x.
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 09.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
man verzeihe mir meine vielen Fragen.
>
> [mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}=\bruch{\partial u_{x}}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+ \bruch{\partial u_{x}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}=u_{xx}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+u_{xt}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}[/mm]
>
Aha, d.h. das hier war doch richtig:
[mm] \frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}
[/mm]
(zumindest wenn man es "gutwillig" liest, d.h. [mm] (\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}=(\frac{\partial u_x}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \xi})
[/mm]
(ich hatte in den letzten posts aus versehen manchmal [mm] \frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x} [/mm] anstatt [mm] \frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x}) [/mm] geschrieben [also v statt u])
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
>
> man verzeihe mir meine vielen Fragen.
>
> >
> > [mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}=\bruch{\partial u_{x}}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+ \bruch{\partial u_{x}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}=u_{xx}*\bruch{\partial x}{\partial \xi}+u_{xt}*\bruch{\partial t}{\partial \xi}[/mm]
>
> >
>
> Aha, d.h. das hier war doch richtig:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\left\green{(} \ \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial t}\ \right\green{)}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
>
> (zumindest wenn man es "gutwillig" liest, d.h.
> [mm](\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}=(\frac{\partial u_x}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \xi})[/mm]
"gutwillig" heißt, wenn das so geklammert wird:
[mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial u}{x}=\frac{1}{2}(\left\green{(} \ \frac{\partial}{\partial x}\left\blue{(}\frac{\partial u}{\partial x}\right\blue{)} \ \right\green{)}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\left\green{(} \ \frac{\partial}{\partial t}\left\blue{(}\frac{\partial u}{\partial x}\right\blue{)} \ \right\green{)}\frac{\partial t}{\partial \xi})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{1}{2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\frac{1}{2c})=\frac{1}{4}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{1}{4c}\frac{\partial^2u}{\partial t \partial x}[/mm]
Für [mm]\bruch{\partial u_{x}}{\partial \xi}[/mm] stimmt das.
Jetzt mußt Du noch [mm]\bruch{\partial u_{t}}{\partial \xi}[/mm] berechnen.
>
> (ich hatte in den letzten posts aus versehen manchmal
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial v}{x}[/mm]
> anstatt
> [mm]\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{1}{2}\frac{\partial u}{x})[/mm]
> geschrieben [also v statt u])
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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