wieder unendlich, Potenzmenge? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo Leute,
ich soll wieder mal die [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] angeben, die vom folgenden Mengensystem [mm] \mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] erzeugt wird:
[mm] \Omega [/mm] sei eine beliebige überabzählbare Menge, [mm] \mathcal{A}=\{\{x\}:x\in\Omega\} [/mm] |
Als erstes habe ich mir überlegt, dass ja vielleicht die Potenzmenge herauskommen könnte, doch [mm] \Omega [/mm] ist ja überabzählbar und in der [mm] \sigma [/mm] -Algebra kommen nur abzählbare Vereinigungen vor. Ziemlich abstrakt. Weiß jemand weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Als erstes habe ich mir überlegt, dass ja vielleicht die
> Potenzmenge herauskommen könnte, doch [mm]\Omega[/mm] ist ja
> überabzählbar und in der [mm]\sigma[/mm] -Algebra kommen nur
> abzählbare Vereinigungen vor. Ziemlich abstrakt. Weiß
> jemand weiter?
Welche Mengen erhältst du als abzählbare Vereinigungen von Elementen von [mm] $\mathcal{A}$?
[/mm]
Wenn du dann noch deren Komplemente hinzunimmst, hast du in diesem Beispiel schon [mm] $\sigma(\mathcal{A})$, [/mm] wie du dir überlegen solltest.
Viele Grüße
Tobias
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abzählbare Mengen und als Komplemente dann überabzählbare, also dann so etwas:
[mm] \sigma(\mathcal{A})=\{ A \subseteq\Omega : A \mbox{ ist abzählbar oder}A^c \mbox{ ist abzählbar} \}
[/mm]
Kann das sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> abzählbare Mengen und als Komplemente dann
> überabzählbare, also dann so etwas:
>
> [mm]\sigma(\mathcal{A})=\{ A \subseteq\Omega : A \mbox{ ist abzählbar oder}A^c \mbox{ ist abzählbar} \}[/mm]
>
> Kann das sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Jetzt nur noch nachweisen, dass diese Gleichheit tatsächlich gilt.
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Ok danke, das muss ich dann noch sauber formulieren. Weiß jetzt noch nicht genau, wie.
Mal eine ähnlich Frage. Sei jetzt [mm] \Omega=\IR [/mm] und [mm] \mathcal{A}=\mathcal{P}(\IQ)
[/mm]
Lautet dann die Lösung
[mm] \sigma(\mathcal{A})=\{ A \subseteq\Omega : A\in\mathcal{A} \mbox{ oder } A^c \in\mathcal{A} \}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok danke, das muss ich dann noch sauber formulieren. Weiß
> jetzt noch nicht genau, wie.
Zeige beide Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) getrennt.
> Mal eine ähnlich Frage. Sei jetzt [mm]\Omega=\IR[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}=\mathcal{P}(\IQ)[/mm]
> Lautet dann die Lösung
> [mm]\sigma(\mathcal{A})=\{ A \subseteq\Omega : A\in\mathcal{A} \mbox{ oder } A^c \in\mathcal{A} \}[/mm]
Ja.
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> Zeige beide Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) getrennt.
Jo, so wäre ich auch jetzt spontan vorgegangen.
Fangen wir mal von rechts nach links an:
1. Sei [mm] A\subseteq\Omega, [/mm] A abzählbar
Dann lässt sich A als Vereinigung von einelementigen Mengen darstellen:
[mm] A=\bigcup_{n\in\IN}\{x_n\}, x_n \in\Omega
[/mm]
Da [mm] \{x_n\}\in\mathcal{A}, [/mm] ist [mm] A\in\sigma(\mathcal{A})
[/mm]
2. Sei [mm] A\subseteq\Omega, A^c [/mm] abzählbar
Dann lässt sich [mm] A^c [/mm] als Vereinigung von einelementigen Mengen darstellen:
[mm] A^c=\bigcup_{m\in\IN}\{x_m\}, x_m \in\Omega
[/mm]
Da [mm] \{x_m\}\in\mathcal{A}, [/mm] ist [mm] A^c \in\sigma(\mathcal{A})\Rightarrow A\in\sigma(\mathcal{A})
[/mm]
Was sagst du dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Zeige beide Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) getrennt.
> Jo, so wäre ich auch jetzt spontan vorgegangen.
>
> Fangen wir mal von rechts nach links an:
> 1. Sei [mm]A\subseteq\Omega,[/mm] A abzählbar
> Dann lässt sich A als Vereinigung von einelementigen
> Mengen darstellen:
> [mm]A=\bigcup_{n\in\IN}\{x_n\}, x_n \in\Omega[/mm]
> Da
> [mm]\{x_n\}\in\mathcal{A},[/mm] ist [mm]A\in\sigma(\mathcal{A})[/mm]
> 2. Sei [mm]A\subseteq\Omega, A^c[/mm] abzählbar
> Dann lässt sich [mm]A^c[/mm] als Vereinigung von einelementigen
> Mengen darstellen:
> [mm]A^c=\bigcup_{m\in\IN}\{x_m\}, x_m \in\Omega[/mm]
> Da
> [mm]\{x_m\}\in\mathcal{A},[/mm] ist [mm]A^c \in\sigma(\mathcal{A})\Rightarrow A\in\sigma(\mathcal{A})[/mm]
>
> Was sagst du dazu?
Da brauch ich gar nicht viel zu zu sagen: Alles bestens!
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Gut :)
Nur umgekehrt wird es schwieriger. Das bekomme ich nicht so sauber formuliert.
Sei [mm] A\in\sigma(\mathcal{A}), [/mm] A und [mm] A^c [/mm] überabzählbar. Dann ließe sich weder A noch [mm] A^c [/mm] durch abzählbare Vereinigungen [mm] \bigcup_{n\in\IN}\{x_n\}, \{x_n\}\in\mathcal{A} [/mm] erzeugen. Somit muss A oder [mm] A^c [/mm] abzählbar sein.
Kann man das so ungefähr lassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]A\in\sigma(\mathcal{A}),[/mm] A und [mm]A^c[/mm] überabzählbar.
> Dann ließe sich weder A noch [mm]A^c[/mm] durch abzählbare
> Vereinigungen [mm]\bigcup_{n\in\IN}\{x_n\}, \{x_n\}\in\mathcal{A}[/mm]
> erzeugen. Somit muss A oder [mm]A^c[/mm] abzählbar sein.
Warum letzteres?
Sei [mm] $\mathcal{A}':=\{ A \subseteq\Omega : A \mbox{ ist abzählbar oder}A^c \mbox{ ist abzählbar} \}$.
[/mm]
Um [mm] $\sigma(\mathcal{A})\subseteq\mathcal{A}'$ [/mm] zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist mit [mm] $\mathcal{A}'\supseteq\mathcal{A}$.
[/mm]
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Ich hab mir nur gedacht, wenn A und [mm] A^c [/mm] beide überabzählbar sind, dass es dann eben nicht hinhaut. Deswegen das Gegenteil. Also einmal A abzählbar und [mm] A^c [/mm] logischerweise überabzählbar oder A überabzählbar, dann (nicht logischerweise) muss ich fordern, dass [mm] A^c [/mm] abzählbar.
Deine Ansätze sind wie immer raffiniert.
[mm] \forall x\in\Omega [/mm] ist [mm] \{x\}\subseteq\Omega [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow \mathcal{A}\subseteq\mathcal{A}'
[/mm]
[mm] \Omega [/mm] überabzählbar [mm] \Rightarrow \emptyset=\Omega^c [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}'
[/mm]
Sei [mm] (A^c)^c= A\in\mathcal{A}' [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow A^c \in\mathcal{A}'
[/mm]
Sei [mm] A\in\mathcal{A}' [/mm] überabzählbar [mm] \Rightarrow A^c [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow A^c \in\mathcal{A}'
[/mm]
Sei [mm] A_1, A_2,... \in\mathcal{A}' [/mm] alle abzählbar [mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n \in\mathcal{A}'
[/mm]
Sei [mm] A_1, A_2,... \in\mathcal{A}' [/mm] mit (mindestens) ein [mm] A_i [/mm] überabzählbar [mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n [/mm] überabzählbar und [mm] A_i^c [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c [/mm] = [mm] \bigcap_{n\in\IN} A_n^c \subseteq A_i^c [/mm] abzählbar [mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n \in\mathcal{A}'
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathcal{A}' [/mm] ist eine [mm] \sigma\mbox{-Algebra}.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Deine Ansätze sind wie immer raffiniert.
Irgendwie müssen wir ja ins Spiel bringen, dass [mm] $\sigma(\mathcal{A})$ [/mm] nicht irgendeine [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] umfassende Sigma-Algebra ist, sondern die kleinste solche.
Die von mir angegebene Vorgehensweise ist ein Standardargument zum Nachweis, wie eine von einem Mengensystem erzeugte Sigma-Algebra aussieht. Ich habe es auch bei deinen anderen Beispielaufgaben verwendet, um zu überprüfen, ob meine Vermutungen stimmten.
> [mm]\forall x\in\Omega[/mm] ist [mm]\{x\}\subseteq\Omega[/mm] abzählbar
> [mm]\Rightarrow \mathcal{A}\subseteq\mathcal{A}'[/mm]
>
> ([mm]\Omega[/mm] überabzählbar [mm]\Rightarrow[/mm]) [mm]\emptyset=\Omega^c[/mm]
> abzählbar [mm]\Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}'[/mm]
> Sei
> [mm](A^c)^c= A\in\mathcal{A}'[/mm] abzählbar [mm]\Rightarrow A^c \in\mathcal{A}'[/mm]
>
> Sei [mm]A\in\mathcal{A}'[/mm] überabzählbar [mm]\Rightarrow A^c[/mm]
> abzählbar [mm]\Rightarrow A^c \in\mathcal{A}'[/mm]
> Sei [mm]A_1, A_2,... \in\mathcal{A}'[/mm]
> alle abzählbar [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n[/mm]
> abzählbar [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n \in\mathcal{A}'[/mm]
>
> Sei [mm]A_1, A_2,... \in\mathcal{A}'[/mm] mit (mindestens) ein [mm]A_i[/mm]
> überabzählbar [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n[/mm]
> überabzählbar und [mm]A_i^c[/mm] abzählbar [mm]\Rightarrow \left(\bigcup_{n\in\IN} A_n\right)^c[/mm]
> = [mm]\bigcap_{n\in\IN} A_n^c \subseteq A_i^c[/mm] abzählbar
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\IN} A_n \in\mathcal{A}'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \mathcal{A}'[/mm] ist eine [mm]\sigma\mbox{-Algebra}.[/mm]
Sehr schön! So selbstständige und saubere Lösungen liest man hier von Fragestellern selten.
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> Ich habe es auch bei deinen anderen Beispielaufgaben verwendet, um zu überprüfen, ob meine Vermutungen stimmten.
Heißt es dann, dass ich das auch in der Aufgabe von vorgestern mit [mm] \mathcal{B} [/mm] und in der Aufgabe mit [mm] \mathcal{P}(\IQ) [/mm] nachweisen muss?
In der Aufgabe steht ja nur: Geben Sie [mm] \sigma-\mbox{Algebren} [/mm] an.
> Sehr schön! So selbstständige und saubere Lösungen liest man hier von Fragestellern selten.
Danke! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich habe es auch bei deinen anderen Beispielaufgaben
> verwendet, um zu überprüfen, ob meine Vermutungen
> stimmten.
>
> Heißt es dann, dass ich das auch in der Aufgabe von
> vorgestern mit [mm]\mathcal{B}[/mm] und in der Aufgabe mit
> [mm]\mathcal{P}(\IQ)[/mm] nachweisen muss?
> In der Aufgabe steht ja nur: Geben Sie
> [mm]\sigma-\mbox{Algebren}[/mm] an.
Ob der/die Aufgabensteller(in) einen Nachweis erwartet, weiß ich nicht. Am besten mal direkt bei ihm/ihr nachfragen.
Verbieten wird er/sie dir den Nachweis sicherlich nicht... 
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