wo partiell (Edit:) diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 24.09.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | zu zeigen ist wo die funktion r(x,y), partiell integrierbar ist.
r(x,y)= [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] |
nun, die partiellen ableitungen lauten:
1. nach x abgeleitet:
[mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
2. nach y abgeleitet:
[mm] \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
somit ist r schonmal part. diffb. für [mm] \wurzel{x^{2}+{y^{2}}} \not= [/mm] 0
nun das was ich nicht verstehe:
jetzt lasse ich den limes von r(x,0) gegen x-->0 laufen
und erhalte =1 für x>0 und =(-1) für x<0
für limes r(0,y) gegen y-->0 erhalte ich das selbe, also
=1 für x>0 und =(-1) für x<0
was betrachte ich damit dass ich den limes hier derartig einsetze?
wieso kann ich nun sagen, dass die part. abl. (0,0) nicht ex.?
wie kann ich auf den gradienten schließen?
danke für eure/DEINE hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo perl,
> zu zeigen ist wo die funktion r(x,y), partiell integrierbar
> ist.
> r(x,y)= [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> nun, die partiellen ableitungen lauten:
> 1. nach x abgeleitet:
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. nach y abgeleitet:
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> somit ist r schonmal part. diffb. für
> [mm]\wurzel{x^{2}+{y^{2}}} \not=[/mm] 0
du meinst für [mm] $(x,y)\neq [/mm] (0,0)$
>
> nun das was ich nicht verstehe:
>
> jetzt lasse ich den limes von r(x,0) gegen x-->0 laufen
> und erhalte =1 für x>0 und =(-1) für x<0
??
Was versuchst du da zu zeigen? Dass r in 0 nicht stetig ist?
Das stimmt aber nicht! [mm]\lim\limits_{x\to 0}r(x,0)=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}|x|=0[/mm]
Ebenso mit [mm]r(0,y)[/mm]
[mm]r(x,y)\to 0[/mm] für [mm](x,y)\to (0,0)[/mm] auf beliebigem Weg, wie man schnell durch Übergang zu Polarkoordinaten sieht.
>
> für limes r(0,y) gegen y-->0 erhalte ich das selbe, also
> =1 für x>0 und =(-1) für x<0
>
> was betrachte ich damit dass ich den limes hier derartig
> einsetze?
> wieso kann ich nun sagen, dass die part. abl. (0,0) nicht
> ex.?
Dazu solltest du dir mal die Definition der partiellen Ableitung nach einer Variable [mm]x_i[/mm] (hier [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]) an einer Stelle a (hier (0,0)) ansehen.
Es ergibt sich für die Stelle [mm](0,0)[/mm] in beiden Fällen:
[mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}}{h}[/mm] [mm]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{|h|}{h}[/mm]
Existiert dieser GW?
Falls ja, ist er [mm]\frac{\partial r}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial r}{\partial y}(0,0)[/mm]
Falls der obige GW nicht existiert, so existieren die partiellen Ableitungen von r nach x,y halt nicht.
Und da bist du mit deinem [mm]\pm 1[/mm] von oben auf ner guten Spur ...
Vllt. meintest du das ja auch?!
> wie kann ich auf den gradienten schließen?
Wie ist denn der Gradient definiert?
Das ist doch für alle [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] ein [mm]2\times 1[/mm]-Vektor, der welche Einträge hat?
>
>
> danke für eure/DEINE hilfe :)
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 24.09.2010 | | Autor: | perl |
> > zu zeigen ist wo die funktion r(x,y), partiell integrierbar
> > ist.
> > r(x,y)= [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> >
> > nun, die partiellen ableitungen lauten:
> > 1. nach x abgeleitet:
> > [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> > 2. nach y abgeleitet:
> > [mm]\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> >
> > somit ist r schonmal part. diffb. für
> > [mm]\wurzel{x^{2}+{y^{2}}} \not=[/mm] 0
>
> du meinst für [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm]
ja genau. wird deshalb nun im folgenden noch genauer auf die stelle (0,0) eingegangen?
> >
nun das was ich nicht verstehe:
> >
> > jetzt lasse ich den limes von r(x,0) gegen x-->0 laufen
> > und erhalte =1 für x>0 und =(-1) für x<0
>
> ??
>
> Was versuchst du da zu zeigen? Dass r in 0 nicht stetig
> ist?
das weiß ich eben nicht^^
> Das stimmt aber nicht! [mm]\lim\limits_{x\to 0}r(x,0)=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}|x|=0[/mm]
>
> Ebenso mit [mm]r(0,y)[/mm]
>
> [mm]r(x,y)\to 0[/mm] für [mm](x,y)\to (0,0)[/mm] auf beliebigem Weg, wie man
> schnell durch Übergang zu Polarkoordinaten sieht.
also wäre die funktion an der stelle (0,0) stetig?
> > für limes r(0,y) gegen y-->0 erhalte ich das selbe, also
> > =1 für x>0 und =(-1) für x<0
> >
> > was betrachte ich damit dass ich den limes hier derartig
> > einsetze?
> > wieso kann ich nun sagen, dass die part. abl. (0,0) nicht
> > ex.?
>
> Dazu solltest du dir mal die Definition der partiellen
> Ableitung nach einer Variable [mm]x_i[/mm] (hier [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]) an einer
> Stelle a (hier (0,0)) ansehen.
>
> Es ergibt sich für die Stelle [mm](0,0)[/mm] in beiden Fällen:
>
> [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}}{h}[/mm] [mm]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{|h|}{h}[/mm]
>
> Existiert dieser GW?
>
> Falls ja, ist er [mm]\frac{\partial r}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial r}{\partial y}(0,0)[/mm]
>
> Falls der obige GW nicht existiert, so existieren die
> partiellen Ableitungen von r nach x,y halt nicht.
>
> Und da bist du mit deinem [mm]\pm 1[/mm] von oben auf ner guten Spur
> ...
ok bestimmt man den limes, so erhält man zwei werte, heißt das, dass der limes nicht existiert?
>
> Vllt. meintest du das ja auch?!
>
> > wie kann ich auf den gradienten schließen?
>
> Wie ist denn der Gradient definiert?
>
> Das ist doch für alle [mm](x,y)\neq (0,0)[/mm] ein [mm]2\times 1[/mm]-Vektor,
> der welche Einträge hat?
>
> >
> >
danke für eure/DEINE hilfe :)
> >
> >
> >
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > >
> nun das was ich nicht verstehe:
> > >
> > > jetzt lasse ich den limes von r(x,0) gegen x-->0 laufen
> > > und erhalte =1 für x>0 und =(-1) für x<0
> >
> > ??
> >
> > Was versuchst du da zu zeigen? Dass r in 0 nicht stetig
> > ist?
> das weiß ich eben nicht^^
> > Das stimmt aber nicht! [mm]\lim\limits_{x\to 0}r(x,0)=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}|x|=0[/mm]
>
> >
> > Ebenso mit [mm]r(0,y)[/mm]
> >
> > [mm]r(x,y)\to 0[/mm] für [mm](x,y)\to (0,0)[/mm] auf beliebigem Weg, wie man
> > schnell durch Übergang zu Polarkoordinaten sieht.
>
> also wäre die funktion an der stelle (0,0) stetig?
Ja, mit Polarkoordinaten [mm]x=r\cdot{}\cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r\cdot{}\sin(\varphi)[/mm] mit [mm]r>0, \varphi\in[0,2\pi)[/mm] hast du
[mm]\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2(\varphi)+r^2\sin^2(\varphi)}=\sqrt{r^2(\underbrace{\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)}_{=1})}=\sqrt{r^2}=r[/mm] da [mm]r>0[/mm]
Und das strebt unabhängig vom Winkel [mm]\varphi[/mm] (also auf beliegigem Weg zum Ursprung) gegen 0
>
> > > für limes r(0,y) gegen y-->0 erhalte ich das selbe, also
> > > =1 für x>0 und =(-1) für x<0
> > >
> > > was betrachte ich damit dass ich den limes hier derartig
> > > einsetze?
> > > wieso kann ich nun sagen, dass die part. abl. (0,0) nicht
> > > ex.?
> >
> > Dazu solltest du dir mal die Definition der partiellen
> > Ableitung nach einer Variable [mm]x_i[/mm] (hier [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]) an einer
> > Stelle a (hier (0,0)) ansehen.
> >
> > Es ergibt sich für die Stelle [mm](0,0)[/mm] in beiden Fällen:
> >
> > [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^2}}{h}[/mm] [mm]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{|h|}{h}[/mm]
>
> >
> > Existiert dieser GW?
> >
> > Falls ja, ist er [mm]\frac{\partial r}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial r}{\partial y}(0,0)[/mm]
>
> >
> > Falls der obige GW nicht existiert, so existieren die
> > partiellen Ableitungen von r nach x,y halt nicht.
> >
> > Und da bist du mit deinem [mm]\pm 1[/mm] von oben auf ner guten Spur
> > ...
> ok bestimmt man den limes, so erhält man zwei werte,
> heißt das, dass der limes nicht existiert?
Genau, für [mm]h\to 0, h<0[/mm] gibt's -1, für [mm]h\to 0, h>0[/mm] gibt's 1
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
super! dankeschön! polarkoordinaten is so ein problem... wird im skript iwie übergangen und in meinem schlauen büchlein is es schon vorrausgesetzt, aber selbst bei dem punkt hats jetzt klick^^ gemacht :)
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