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Hallo!
Wir wollten gestern zeigen, dass die Abbildung: G/NxG/n->G/N, (gn,hn)->ghN wohldefiniert ist. Dabei ist G eine Grzppe und N ein Normalteiler, G/N bezeichnet dann glaub ich die Menge aller Links und Rechtnebenklassen.
Was bedeutet in diesem Zusammenhang wohldefiniert?, vllt. hat auch jmd ein Beispiel?
Vielen lieben Dank
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> Hallo!
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> Wir wollten gestern zeigen, dass die Abbildung:
> G/NxG/n->G/N, (gn,hn)->ghN wohldefiniert ist. Dabei ist G
> eine Grzppe und N ein Normalteiler, G/N bezeichnet dann
> glaub ich die Menge aller Links und Rechtnebenklassen.
Hallo,.
wenn man eine Abbildung definert, muß man sicherstellen, daß die Definition sinnvoll und eindeutig ist.
1. Es muß wirklich jedem Element aus den Definitionsbereich ein Element aus dem Wertebereich zugewiesen werden.
2. Keinem Element dürfen zwei Elemente zugewiesen werden, dh. für x=y muß f(x)=f(y) sein.
Bei einer Funktion wie
f: [mm] \IR \to \IR [/mm]
[mm] f(x):=x^2
[/mm]
ist das unproblematisch.
Mit Punkt 1. Kann es aber z.B. Probleme geben, wenn man versucht, Umkehrfunktionen zu definieren.
Mal angenommen, ich habe eine Funktion f: [mm] A\to [/mm] B gegeben, und ich möchte deren Umkehrfunktion g definieren:
g: B [mm] \to [/mm] A
g(x):= y mit f(x)=y.
Dann muß ich sicherstellen, daß es tatsächlich zu jedem x solch ein y gibt. (Das wäre ja nur bei surjektivem f der Fall)
Das Problem, welches Ihr hattet, war bei Punkt 2.
Dieses Problem taucht typischerweise auf, wenn man es mit Äquivalenzklassen zu tun hat.
Nehmen wir als Beispiel für die Definitionsmenge mal die Restklassen modulo 3, [mm] \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ.
[/mm]
Wenn ich hierauf eine Funktion definiere, ist die Wohldefiniertheit ein großes Thema.
Denn es ist ja beispielsweise [mm] [2]_3= [14]_3, [/mm] und ich muß sicherstellen, daß die Abbildung, die ich definiere, unabhängig vom Repräsentanten der Äquivalenzklasse ist.
Es muß also [mm] f([2]_3)=f( [14]_3) [/mm] sein.
Wenn ich definieren wollte
[mm] f:\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ. \to \IZ
[/mm]
[mm] f([x]_3):= [/mm] x, so wäre das ein riesengroßer Flop.
Und genau hierum ging es in Deiner Vorlesung. Es sollte gesichert werden, daß zwei gleichen Elementen des Definitionsbereiches auch das gleiche Element des Wertebereiches zugewiesen wird.
Gruß v. Angela
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Restklassen modulo 3, $ [mm] \IZ [/mm] $ / $ [mm] 3\IZ. [/mm] $
was genau bedeutet der ausdruck?
und zu dem "$ [mm] f:\IZ [/mm] $ / $ [mm] 3\IZ. \to \IZ [/mm] $
$ [mm] f([x]_3):= [/mm] $ x, so wäre das ein riesengroßer Flop."
dies wäre ein Flop, weil [mm] f[x]_3 [/mm] dann die werte 2 und 14 hätte?
und dann hab ich noch ne Frage: folgendes ist teil es Skriptes, welches sich auf den mir vorliegenden Beweis bezieht:
Die folgende Rechnung zeigt, dass es sich bei der oben festgelegten Verknüpfung in der Tat um eine
Funktion handelt, d.h. jedem Urbildpunkt wird nur ein eindeutiger Bildpunkt zugeordnet. Zu zeigen ist:
Ist aS = aS und bS = bS, so ist auch (ab)S = (ab)S.
irgendwie sehe ich den Zusammenhang nicht, warum ich durch obige Rechnung nachweisen kann, dass jedes Element des Defbereiches nur ein Element im Wertebereich hat...
und dann habe ich hier noch gegeben, dass gilt:
gN=g'N ist äquivalent zu [mm] g^-1*g'\in [/mm] N...finde leider nirgends dass wir das bewiesen haben, wo könnte da herkommen?
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> Restklassen modulo 3, [mm]\IZ[/mm] / [mm]3\IZ.[/mm]
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> was genau bedeutet der ausdruck?
Hallo,
es handelt sich, wie gesagt, um die restklassen modulo 3.
Mit denen (modulo n ) hast Du Dich bereits hier beschäftigt.
>
> und zu dem "[mm] f:\IZ[/mm] / [mm]3\IZ. \to \IZ[/mm]
> [mm]f([x]_3):=[/mm] x, so wäre
> das ein riesengroßer Flop."
>
> dies wäre ein Flop, weil [mm]f[x]_3[/mm] dann die werte 2 und 14
> hätte?
Genau. Und damit wäre f keine Funktion.
>
>
> und dann hab ich noch ne Frage: folgendes ist teil es
> Skriptes, welches sich auf den mir vorliegenden Beweis
> bezieht:
>
> Die folgende Rechnung zeigt, dass es sich bei der oben
> festgelegten Verknüpfung in der Tat um eine
> Funktion handelt, d.h. jedem Urbildpunkt wird nur ein
> eindeutiger Bildpunkt zugeordnet. Zu zeigen ist:
> Ist aS = aS und bS = bS, so ist auch (ab)S = (ab)S.
Hier wird es wohl um eine Abbildung f gehen, die dem Paar (aS, bS) den Wert (ab)S zuweist für jedes a,b.
Nun muß man sicherstellen, daß für (aS, bS)=(a'S, b'S) auch f(aS, bS)=f(a'S, b'S) richtig ist, daß also (ab)S=(a'b')S
> irgendwie sehe ich den Zusammenhang nicht, warum ich durch
> obige Rechnung nachweisen kann, dass jedes Element des
> Defbereiches nur ein Element im Wertebereich hat...
Gezeigt werden soll, daß dasselbe Element immer denselben Funktionswert bekommt, auch wenn es vordergründig in anderer Gestalt erscheint. (Bei meinem Restklassenbeispiel geht das gründlich schief).
Nun wird in Deinem Skript vermutlich gezeigt werden, daß das wirklich stimmt.
> und dann habe ich hier noch gegeben, dass gilt:
>
> gN=g'N ist äquivalent zu [mm]g^-1*g'\in[/mm] N...finde leider
> nirgends dass wir das bewiesen haben, wo könnte da
> herkommen?
gN=g'N bedeutet doch
[mm] \{gn| n\in N\}=\{g'n| n\in N\}
[/mm]
Sei [mm] n_1\in [/mm] N. (z.B. [mm] n_1=e)
[/mm]
Es ist [mm] gn_1 \in [/mm] gN. Weil gN=g'N gibt es ein [mm] n_2\in [/mm] N mit [mm] gn_1=g' n_2 [/mm] ==> [mm] n_1(n_2)^{-1}=g^{-1}g' [/mm] und da N vermutlich ein Normalteiler, also eine Untergruppe ist, ist [mm] n_1(n_2)^{-1} \in [/mm] N, also [mm] g^{-1}g' [/mm] .
Wenn Du solche Fragen hast, mußt Du Dir immer zunächst die Definitionen klarmachen. Hier klärt sich doch alles, wenn man weiß, was gN bedeutet.
Gruß v. Angela
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vielen lieben Dank, dass du dir immer so viel Zeit für meine blöden Fragen nimmst...
und ich hab gleich noch welche...
im Folgenden haben wir dann definiert, dass die Nebenklassen eine Gruppe sind durch die Defintion von (gN)*(hN)=ghN
1)assoziativ: müsste doch stimmen, da alle Elemente die ic verknüpfe aus G kommen und G eine Gruppe ist, sich also assoziativ verhält, oder?
2) Für das neutrale Element habe ich mir aufgeschrieben, dass (eN)*(xN)=exN=xN ist, dabei verstehe ich nicht, wie man von (eN)*(xN) zu exN kommt das neutrale Element ist dann eN? oder nur N?
3) ist das inverse Element dann x^-1N?
ich hoffe du bist nicht schon völlig genervt von meinen blöden Fragen..
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> im Folgenden haben wir dann definiert, dass die
> Nebenklassen eine Gruppe sind durch die Defintion von
> (gN)*(hN)=ghN
Hallo,
was geschieht hier?
Ihr habt einen Nomalteiler N einer Gruppe G.
Betrachtet wird nun die Menge G / N, die aus allen Nebenklassen besteht , also G / N:={ gN| [mm] g\in [/mm] G}.
Für die Elemente dieser Menge wird nun eine Verknüpfung definiert durch
.
>
> 1)assoziativ: müsste doch stimmen, da alle Elemente die ic
> verknüpfe aus G kommen und G eine Gruppe ist, sich also
> assoziativ verhält, oder?
Ja, daran liegt es.
Du mußt das allerdings fein säuberlich zeigen, dabei jeden Schritt begründen.
> 2) Für das neutrale Element habe ich mir aufgeschrieben,
> dass (eN)*(xN)=exN=xN ist, dabei verstehe ich nicht, wie
> man von (eN)*(xN) zu exN kommt das neutrale Element ist
> dann eN? oder nur N?
Es soll hier gezeigt werden, daß eN das neutrale Element von G / N ist. (e ist hier das neutrale Element von G)
eN ist dasselbe wie N. Überzeuge Dich davon, indem Du Dir die Def. von eN vor Augen führst.
Was muß man zeigen, wenn man zeigen will, daß eN das neutrale Element ist?
Daß (eN)*(xN)=(xN)*(eN)=xN gilt.
Dies rechnet man aus, indem man die Definition der Verknüpfung [mm] \* [/mm] nutzt:
(eN)*(xN)=(ex)N (nach Def. von [mm] \*)
[/mm]
=xN (denn e ist neutral in G
>
> 3) ist das inverse Element dann x^-1N?
Ja sicher. Denn:
sei [mm] x\in [/mm] G. dann gibt es, weil g eine Gruppe ist, ein Element [mm] x^{-1} \in [/mm] G mit [mm] xx^{-1}=e.
[/mm]
Weil [mm] x^{-1} \in [/mm] G, ist [mm] x^{-1}N \in [/mm] G / N.
Es ist
[mm] (xN)\*(x^{-1}N)=(xx^{-1})N=eN,
[/mm]
also ist [mm] x^{-1}N [/mm] das Inverse von xN in G / N.
Gruß v. Angela
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so eine letzte frage noch..tut mir Leid, ich seh irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Ich will zeigen dass die Abbildung
[mm] Pi_N: [/mm] G->G/N, g->gN ein surjektiver Homomorphismus ist mit ker f =N
nun sei x Element von N und ich will zeigen, dass x Teil des Kerns ist.
dazu haben wir aufgeschrieben, dass e^(-1)*x [mm] \in [/mm] N ist und daraus folgt, dass N=eN=xN ist. Daraus soll dann folgen, dass [mm] Pi_N(x)=e_(G/H) [/mm] ist kannst du mir erklären, wie man daruf kommt?
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> Ich will zeigen dass die Abbildung
> [mm]Pi_N:[/mm] G->G/N, g->gN ein surjektiver Homomorphismus ist mit
> ker f =N
>
Hallo,
es geht hier jetzt also speziell um [mm] kern\pi_N=N.
[/mm]
> nun sei x Element von N und ich will zeigen, dass x Teil
> des Kerns ist.
Aha. Du willst erstmal zeigen: [mm] N\subseteq kern\pi_N.
[/mm]
Dazu nimmst man sich ein [mm] x\in [/mm] N und schaut nach, ob es auf die Null in G / N abgebildet wird. Die Null in G / N ist N, das hatten wir zuvor festgestellt
Schauen wir nach:
sei [mm] x\in [/mm] N
[mm] \pi\_N(x)=xN [/mm]
Da [mm] x\in [/mm] N ist [mm] x^{-1}\in [/mm] N.
Also ist [mm] e=x*x^{-1}\in [/mm] xN.
xN und N haben also ein gemeinsames Element, nämlich e. Ihr habt zuvor irgenmdwann gezeigt, daß die Nebnklassen gleich sind, sobald sie ein gemeinsames Element haben.
Also ist xN=N,
und damit ist [mm] x\in Kern\pi_N.
[/mm]
Überlegen muß man sich noch, daß [mm] Kern\pi_N\subseteq [/mm] N ist, aber das ist wirklich leicht.
Gruß v. Angela
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e ist Element von N weil eN=N gilt?
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> e ist Element von N weil eN=N gilt?
hallo,
e ist das neutrale Element von G, und das ist in N, weil N doch eine Untergruppe von G ist.
Gruß v. Angela
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vielen Dank für deine Hilfe! 
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