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Hallo ihr,
ich habe nur einige Fragen zu einem Beweis der Wohldefiniertheit:
G/N sei eine resultierende Faktorgruppe aus dem Normalteiler N und der linearen Gruppe G.
Um zu beweisen, dass die Abbildung von G/N auf die multiplikative Gruppe L isomorph ist, zeigt man ja u.a. dass der isomorphismus f:G/N->L wohldefiniert ist.
Dazu habe ich folgenden Beweis:
Seien a und b [mm] \in [/mm] G, so dass a*N=b*N, wenn a und b zur gleichen Nebenklasse gehören.
1) Wieso muss diese Bedingung gelten?
Dies ist äquivalent zu [mm] ab^{-1} \in [/mm] N:
[mm] det(ab^{-1})=1=det(a)det(b^{-1})\gdw [/mm] det(a)=det(b).
2) Ich verstehe, dass es äquivalent ist, jedoch verstehe ich nicht, wodurch hier a*N=b*N gezeigt wurde.
Könnte mir das jemand kurz erläutern? Dann verstehe ich die Wohlefiniertheit in diesem Zusammenhang denke ich auch besser 
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 22.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 So 22.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hallo an alle,
meine Fälligkeit ist schon abgelaufen aber ich bin immernoch interessiert an einer Antwort, bis heute Abend, somit poste ich die Frage erneut
Ich habe nur einige Fragen zu einem Beweis der Wohldefiniertheit:
G/N sei eine resultierende Faktorgruppe aus dem Normalteiler N und der linearen Gruppe G.
Um zu beweisen, dass die Abbildung von G/N auf die multiplikative Gruppe L isomorph ist, zeigt man ja u.a. dass der isomorphismus f:G/N->L wohldefiniert ist.
Dazu habe ich folgenden Beweis:
Seien a und b $ [mm] \in [/mm] $ G, so dass a*N=b*N, wenn a und b zur gleichen Nebenklasse gehören.
1) Wieso muss diese Bedingung gelten?
Dies ist äquivalent zu $ [mm] ab^{-1} \in [/mm] $ N:
$ [mm] det(ab^{-1})=1=det(a)det(b^{-1})\gdw [/mm] $ det(a)=det(b).
2) Ich verstehe, dass es äquivalent ist, jedoch verstehe ich nicht, wodurch hier a*N=b*N gezeigt wurde.
Könnte mir das jemand kurz erläutern? Dann verstehe ich die Wohlefiniertheit in diesem Zusammenhang denke ich auch besser
Vielen Dank
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> Ich habe nur einige Fragen zu einem Beweis der
> Wohldefiniertheit:
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> G/N sei eine resultierende Faktorgruppe aus dem
> Normalteiler N und der linearen Gruppe G.
> Um zu beweisen, dass die Abbildung von G/N auf die
> multiplikative Gruppe L isomorph ist, zeigt man ja u.a.
> dass der isomorphismus f:G/N->L wohldefiniert ist.
Hallo,
es geht darum zu zeigen, daß die Funktionswerte gleich sind, wenn die Argumente gleich sind - ansonsten hätte man ja keine Funktion.
Meist ist das kein Problem, aber wenn man es mit Faktorgruppen zu tun hat, kann dies ein Problem werden.
Es können nämlich aN und bN gleich sein, obwohl a und b verschieden sind, und man muß sicherstellen, daß die Funktionswerte trotzdem übereinstimmen.
Für die Wohldefiniertheit ist also hier zu zeigen, daß aus aN=bN folgt, daß f(aN)=f(bN).
Mit den Details will und kann ich mich nicht beschäftigen, da die exakte Aufgabenstellung, insbesondere auch die Def. von f, im Dunkeln liegt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Mo 23.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hey Angela,
alles klar, vielen Dank, die Infos reichen schon
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