wohldefiniertheit und bijektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, sei f : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus.
Wir definieren eine Abbildung durch :
[mm] \{p \in End(V )|p^2=p und p \circ f= f\circ p \} \to \{(U_1 ,U_2)|U_1 und U_2 sind f-invariante Untervektorräume von V mit U_1\oplus U_2 = V \}
[/mm]
p [mm] \mapsto [/mm] (Ker(p), Im(p))
1. Überprüfen Sie, ob die Abbildung wohldefiniert ist.
2. Zeigen Sie, dass [mm] \Theta [/mm] bijektiv ist. |
Hallo,
Mein tutor meint ich solle bei der Wohldefiniertheit zeigen:
a) Ker(p) [mm] \oplus [/mm] Im(p) = V
b) Ker(p) [mm] \oplus [/mm] Im(p) ist f- invariant
gibt es da eine leichtere Lösung? ich habe nämlich absolut keine Ahnung wie ich die oberen beiden sachen zeigen soll.
zu bijektivität
wie zeige ich dass, ich habe leider nicht den durchblick, muss ich wirklich zeigen, dass [mm] \Theta [/mm] surjektiv und injektiv ist? wenn ja, wie?
MfG
CPH
PS:
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 17.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> gibt es da eine leichtere Lösung?
Die ist schon sehr leicht eigentlich ... (vor allem methodisch!).
Zu deiner i): Sei v im Schnitt von Kern und Bild, dh [m]\exists w: p(w)=v, p(v)=0[/m], jetzt folgere mit [m]p^2=p[/m] das [m]v=0[/m], also ist die Summe dirket, aus Dim.gründen.
Zur Invarinatheit: Benutze dazu die Kommutativität, zB fürs Bild [m]Im f(Im(p))=Im p(Im(f))\subset Im(p)[/m].
> zu bijektivität
>
> wie zeige ich dass, ich habe leider nicht den durchblick,
Es gibt eine Umkehrabbildung - schicke die Unterräume auf einen Endo der auf dem ersten Unterraum auf 0 abbildet, auf dem zweiten die Identität ist (das ist nämlich bei obigen Endos auch immer der Fall - Beweis?). Jetzt sind die Abbildung jeweils invers zu einander.
> muss ich wirklich zeigen, dass [mm]\Theta[/mm] surjektiv und
> injektiv ist? wenn ja, wie?
Dirket wird es auch gehen, surjektiv ist eigentlich klar, injektiv muss man sich überlegen.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:40 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank für die Hilfe, den ersten teil mit der wohldefiniertheit versteh ich jetzt, aber den teil mit der bijektivität leider nicht:
> > zu bijektivität
> Es gibt eine Umkehrabbildung - schicke die Unterräume auf
> einen Endo der auf dem ersten Unterraum auf 0 abbildet, auf
> dem zweiten die Identität ist (das ist nämlich bei obigen
> Endos auch immer der Fall - Beweis?). Jetzt sind die
> Abbildung jeweils invers zu einander.
Es gibt ne unkehrabb. das heißt ja, dass [mm] \Theta [/mm] sicherlich bijektiv ist.
ich soll die unterräume also (kern auf 0 und bild auf die identität schicken?) wieso ist das immer möglich, mir reicht es auch, dass es in diesem Fall möglich ist.
Woher weiß ich, dass die abbildungen invers zueinander sind?
MfG
CPH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 18.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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