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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 18.04.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den sogennanten Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. |
Als Tipp gibt's, dass man das Zorn'sche Lemma verwenden sollte...
Allerdings hab ich das leider nicht so ganz verstanden, schon irgendwie, was es aussagt, aber nicht wirklich, wie man es verwendet...
Da es ja äquivalent zum Auswahlaxiom ist, sollte es auch irgendwie darüber gehen...
In der VL hatten wir die Version, dass zu jeder Surjektion f eine Abbildung g existiert, die jedes Element auf sein Urbild bezüglich f schickt.
Kann man jetzt irgendwie annehmen, dass die eine Menge wohlgeordnet ist und damit über eine Abbildung auch die andere wohlordnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 So 18.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie den sogennanten Wohlordnungssatz: Jede Menge
> kann wohlgeordnet werden.
Nennen wir die Menge mal $X$.
> Als Tipp gibt's, dass man das Zorn'sche Lemma verwenden
> sollte...
> Allerdings hab ich das leider nicht so ganz verstanden,
> schon irgendwie, was es aussagt, aber nicht wirklich, wie
> man es verwendet...
Du schaust dir die Menge der Wohlordnungen auf Teilmengen von $X$ an. Darauf definierst du dir eine Ordnung und zeigst, dass diese die Voraussetzungen vom Zornschen Lemma erfuellt. Dann kannst du dir ein maximales Element nehmen, und du musst nur noch zeigen dass diese Wohlordnung alle Elemente aus $X$ abdeckt (mit einem Widerspruchsargument: ist ein Element aus $X$ nicht mit drinnen, kannst du es hinzufuegen).
> Da es ja äquivalent zum Auswahlaxiom ist, sollte es auch
> irgendwie darüber gehen...
Du kannst auch mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] zeigen, dass [mm] $\exp(2^{\sin(x)/3} [/mm] + [mm] \cos(x^x) \log [/mm] (x + [mm] \tan(x)) [/mm] - 1)$ stetig ist. Ich wuerde dir das aber nicht empfehlen 
> In der VL hatten wir die Version, dass zu jeder Surjektion
> f eine Abbildung g existiert, die jedes Element auf sein
> Urbild bezüglich f schickt.
> Kann man jetzt irgendwie annehmen, dass die eine Menge
> wohlgeordnet ist und damit über eine Abbildung auch die
> andere wohlordnen?
Ich denke nicht, dass du damit weiterkommst. Um die Wohlordnung zu uebertragen, braeuchtest du eher eine Bijektion. Aber das macht das Problem kein Stueck einfacher: du brauchst erstmal eine passend grosse wohlgeordnete Menge.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 21.04.2010 | | Autor: | valoo |
> Nennen wir die Menge mal [mm]X[/mm].
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> Du schaust dir die Menge der Wohlordnungen auf Teilmengen
> von [mm]X[/mm] an. Darauf definierst du dir eine Ordnung und zeigst,
> dass diese die Voraussetzungen vom Zornschen Lemma
> erfuellt. Dann kannst du dir ein maximales Element nehmen,
> und du musst nur noch zeigen dass diese Wohlordnung alle
> Elemente aus [mm]X[/mm] abdeckt (mit einem Widerspruchsargument: ist
> ein Element aus [mm]X[/mm] nicht mit drinnen, kannst du es
> hinzufuegen).
>
Ich kann mir nicht wirklich vorstellen, wie ich auf der Menge der Wohlordnungen eine Ordnung definieren sollte...
[mm] P=\{(A,<_{A})|A\subset X und <_{A} Wohlordnung auf A\}
[/mm]
Irgendwie was mit Teilmengen?
(A,<_{A}) < (B,<_{B}) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subset [/mm] B und irgendeine zusätzliche voraussetzung??? auf A ist ja auch <_{B} eine Wohlordnung...
Wenn man wenigstens wüsste, wie diese Ordnung aussehen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 21.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Nennen wir die Menge mal [mm]X[/mm].
> >
> > Du schaust dir die Menge der Wohlordnungen auf Teilmengen
> > von [mm]X[/mm] an. Darauf definierst du dir eine Ordnung und zeigst,
> > dass diese die Voraussetzungen vom Zornschen Lemma
> > erfuellt. Dann kannst du dir ein maximales Element nehmen,
> > und du musst nur noch zeigen dass diese Wohlordnung alle
> > Elemente aus [mm]X[/mm] abdeckt (mit einem Widerspruchsargument: ist
> > ein Element aus [mm]X[/mm] nicht mit drinnen, kannst du es
> > hinzufuegen).
> >
>
> Ich kann mir nicht wirklich vorstellen, wie ich auf der
> Menge der Wohlordnungen eine Ordnung definieren sollte...
>
> [mm]P=\{(A,<_{A})|A\subset X und <_{A} Wohlordnung auf A\}[/mm]
>
> Irgendwie was mit Teilmengen?
>
> (A,<_{A}) < (B,<_{B}) [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subset[/mm] B und irgendeine
> zusätzliche voraussetzung???
Naja, $<_B$ eingeschraenkt auf $A$ sollte gleich $<_A$ sein.
Und eventuell ist es wichtig, dass das kleinste Element von $(B, <_B)$ in $A$ liegt.
Du musst halt genug Eigenschaften haben, damit du zu einer Kette eine obere Schranke finden kannst. Also versuche das zu beweisen und guck, was du dafuer brauchst
LG Felix
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