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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:24 Do 17.04.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
HallO!
Möchte das ergebnis von [mm] z^2=3+i [/mm] konstruieren, also da [mm] z0=\wurzel{4}(cos\alpha/2+isin\alpha/2)...würde [/mm] mir nun meinen ausgangszeiger einzeichnen und dann den vorandenen winekl halbieren (halt mit zwei Kreisbögen und dann die Schnittpunkte verbinden...nun fehlt mir noch die Länge des neuen Zeigers..da das die wurzel ist könnte man das mittels höhensatz erst am anderen zeiger konstruieren, dann die länge in den Zirkel einstellen und um den Mittelpunkt Koordinatensytem nen Kreis schalgen Schnittpunkt mit wineklhalbierender ist spitze zeiger...richtig so?
hoffe man kanns nachvollziehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 17.04.2008 | | Autor: | Xnyzer |
also... ich durchblicke deine frage überhaupt nicht!
was möchtest du genau machen? was hast du? was suchst du?
die aufgabe ist auch sehr merkwürdig geschrieben. ich kann schlecht erkennen, was es heißt.
vielleicht kannst du das noch mal etwas umformulieren? mehrere kurze verständliche sätze wären auch von vorteil. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:43 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo Fuchsschwanz,
ich vermute, du willst (zeichnerisch) die Wurzel aus [mm] $z^2=3+i$ [/mm] bestimmen...
Du hast recht, durch das Wurzelziehen halbiert sich der Winkel, den der Zeiger und die reelle Achse einschließen.
Aber die Wurzel der Länge zu konstruieren könnte schwierig werden (bzw. geht das überhaupt?)....
Rechnerisch komme ich auf:
[mm] $|z^2|=\wurzel{3^2+1^2}=\wurzel{10}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z^2=\wurzel{10}\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)$ [/mm] mit [mm] $\alpha=\arccos\left(\frac{3}{\wurzel{10}}\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{\wurzel{10}}\right)$
[/mm]
oder "ausgerechnet": [mm] $|z^2|=\wurzel{10}\approx [/mm] 3,162$ und [mm] $\alpha\approx [/mm] 18,435°$
Für $z$ gilt dann: [mm] $|z|=\wurzel{|z^2|}$ [/mm] und [mm] $\beta=\frac{\alpha}{2}$
[/mm]
Den Winkel zu halbieren ist ja kein Problem, aber [mm] $\wurzel{\wurzel{10}}$...???
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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hallo fulla!
ja du hast mich verstanden  ...das war ja meine frage ob mans konstruieren kann ... die eigentlich aufgabe ist halt: zeigne geometrisch, dass eine komplexe zahl nur dann eine reelle n te wurzel besitzt wenn sie selber reell ist...hatt sonst keine idee wie mans zeigen könnte außer halt zwei wurzeln (reell und komplex) konstruieren...
vllt hast du ja noch ne idee...?!
lg
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äh...oben sollte ne frage werden...sorry...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Sa 19.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da es ja allgemeiner um n-te Wurzel geht, musst du geometrisch nur zeigen, dass der n-Te Teil eines Winkels , [mm] +k*2\pi/n [/mm] nie bei 0 oder [mm] \pi [/mm] landen kann. Die Länge ist dann egal für die Frage reell ! (aber deine Idee sie bei der Quadratwurzel mit dem Höhensatz zu konstr. ist richtig, wenn du die Einheitslänge an z anhängst, und den Thales über z+z/|z| errichtest.)
Gruss leduart
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hmm aber wie weigt man sowas geometrisch? also ist ja eig klar dass man einen beleibigen winkel nur zu null kriegt wenn der schon vorher null ist...und dann ist es ja ne reelle zahl...aber wie zeigt man das geometrisch? nur den oben beschriebenen teil mit der wurzel konstruieren??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Sa 19.04.2008 | | Autor: | abakus |
> hmm aber wie weigt man sowas geometrisch? also ist ja eig
> klar dass man einen beleibigen winkel nur zu null kriegt
> wenn der schon vorher null ist...und dann ist es ja ne
> reelle zahl...aber wie zeigt man das geometrisch? nur den
> oben beschriebenen teil mit der wurzel konstruieren??
Hallo,
die Wurzel einer reellen Zahl (und der Betrag einer komplexen Zahl ist ja reell) kannst du mit verschiedenen Hilfskonstruktionen erzeugen.
In Frage kommen z.B.
- ein rechtwinkliges Dreieck mit den Hypotenusenabschnittslängen 1 und a (nach dem Höhensatz gilt [mm] h^2=1*a, [/mm] also [mm] h=\wurzel{a}
[/mm]
- ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Kathete die Länge [mm] \wurzel{a} [/mm] hat, weil die Hypotenuse die Länge a und ein Hypotenusenabschnitt die Länge 1 hat (Anwendung des Kathetensatzes)
Viele Grüße
Abakus
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ja ok, aber wie zeige ich das in obigem zusammehang? einfach nen zeiger zeichnen und dann die wurzel dazu? also so wie oben beschrieben? bzw. wie zeige ich dass der winkel nie 0 der pi ist..siehe antwort von leduart...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Sa 19.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. der n-te Teil eines positiven Winkels <360° ist wieder ein pos Winkel. sei der Winkel [mm] \alpha, [/mm] eine der Wurzeln hat den Winkel [mm] \alpha/n
[/mm]
2. Addtion von k*360*/n zu [mm] \alpha/n [/mm] liefert für k<n weitere Wurzeln. alle diese Winkel liegen zwischen 0 und 360°. jetzt ist noch der Fall auszuschliessen dass 180° also z=-1 rauskommt. falls [mm] \alpha/n\ne180° [/mm] und [mm] \ne360° [/mm] ist das auch nicht möglich. denn aus [mm] \alpha/n+k*360/n=180 [/mm] folgt [mm] \alpha=n*180-k*360=(n-2k)*180 [/mm] also z reell.
Das geometrische daran ist einfach die Argumentation mit den Winkeln!
Das Argument geht auch rückwärts: [mm] \wurzel[n]{z}=w [/mm] ist definiert durch [mm] w^n=z
[/mm]
wenn man einen Winkel von 0 oder 180°, die einzigen reellen w ver n-facht kommt wieder ein Winkel von 180 oder 360° raus. mit 180=180*n*360, d.h. wenn w reell ist folgt z reell.
(Ein Wort musst du im Beweis dazu sagen, dass es ja auf den Betrag nicht ankommt.)
Gruss leduart
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