wurzel 3 irrational < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
wäre dies ein gültiger beweis für die Irrationalität von [mm] \wurzel{3} [/mm] :
[mm] \wurzel{3}\in\IZ [/mm] nur wenn [mm] m^2=3 [/mm] also falls es eine Zahl m gibt die quadriert drei ergibt.
[mm] m^2=3 \Rightarrow [/mm] $ [mm] m^2=0 [/mm] mod 3 $ [mm] \Rightarrow [/mm] m=0,1,2 [mm] \Rightarrow m^2=0,1,4 [/mm] aber keine dieser Zahlen ist drei, also ist drei keine quadratzahl, daher kann auch [mm] \wurzel{3} [/mm] keine ganze Zahl sein.
Würe dies als Beweis durchgehen ?
Lg,
exe
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Hallo exeqter,
> Hi,
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> wäre dies ein gültiger beweis für die Irrationalität
> von [mm]\wurzel{3}[/mm] :
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> [mm]\wurzel{3}\in\IZ[/mm] nur wenn [mm]m^2=3[/mm] also falls es eine Zahl m
> gibt die quadriert drei ergibt.
Wieso in [mm] \IZ [/mm] ?
> [mm]m^2=3 \Rightarrow[/mm] [mm]m^2=0 mod 3[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] m=0,1,2
> [mm]\Rightarrow m^2=0,1,4[/mm] aber keine dieser Zahlen ist drei,
auch Quark. Wenn Du schon mod 3 rechnest, dann ist die Null das Gleiche wie die drei. Immerhin hättest Du jetzt schonmal gezeigt, dass [mm] \wurzel{3} [/mm] durch 3 teilbar sein müsste, wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt. Aber danach suchst Du doch eigentlich gar nicht.
> also ist drei keine quadratzahl, daher kann auch [mm]\wurzel{3}[/mm]
> keine ganze Zahl sein.
>
> Würe dies als Beweis durchgehen ?
Nein, Thema verfehlt.
Aber die Denkrichtung ist nicht schlecht.
Kennst Du Euklids ![[]](/images/popup.gif) Beweis für die Irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] ? Der funktioniert hier genauso, wie auch für jede andere Primzahl. Und noch darüber hinaus, aber dann braucht man Zusatzargumente.
> Lg,
>
> exe
lg
reverend
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hi,
gut, dann habe ich die Logik offenbar nicht verstanden. hier das beispiel aus dem ich meinte ableiten zu können, dass ich damit die irrationalität von wurzel 3 beweisen könnte:
Zeigen Sie, dass [mm] \wurzel{5*n+3} [/mm] irrational ist. Dafür zeigt man, dass [mm] 5n+3\not=m^2 [/mm] ist.
Es folgt:
$ [mm] m^2\equiv [/mm] 3 mod 5 $ [mm] \Rightarrow [/mm] m=0,1,2,3,4 [mm] \Rightarrow m^2=0,1,4,9,16 \equiv [/mm] 0,1,4,4,1 mod 5.
Keine dieser Zahlen ist 3, also ist [mm] m^2\not=5n+3 [/mm] mod 5 [mm] \Rightarrow m^2\not=5n+3.
[/mm]
Wieso kann ich dies jetzt nicht auf [mm] \wurzel{3} [/mm] anwenden ?
Lg
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> hi,
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> gut, dann habe ich die Logik offenbar nicht verstanden.
> hier das beispiel aus dem ich meinte ableiten zu können,
> dass ich damit die irrationalität von wurzel 3 beweisen
> könnte:
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\wurzel{5*n+3}[/mm] irrational ist. Dafür
> zeigt man, dass [mm]5n+3\not=m^2[/mm] ist.
>
> Es folgt:
>
> [mm]m^2\equiv 3 mod 5[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] m=0,1,2,3,4 [mm]\Rightarrow m^2=0,1,4,9,16 \equiv[/mm]
> 0,1,4,4,1 mod 5.
>
> Keine dieser Zahlen ist 3, also ist [mm]m^2\not=5n+3[/mm] mod 5
> [mm]\Rightarrow m^2\not=5n+3.[/mm]
>
> Wieso kann ich dies jetzt nicht auf [mm]\wurzel{3}[/mm] anwenden ?
>
> Lg
Hallo,
es scheint, dass bei diesem Beweis ein viel weiter
gehender Satz schon vorausgesetzt wurde, nämlich
die Aussage, dass die Quadratwurzel aus einer
natürlichen Zahl entweder ganzzahlig oder aber
irrational ist.
Dies darfst du in dem verlangten Beweis für die
Irrationalität von [mm] \sqrt{3} [/mm] aber bestimmt nicht.
LG Al-Chw.
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hi,
ich kann die irrationalität von wurzel 3 ohne mod's beweisen, natürlich. mir ist auch klar, wie das geht. Nur ist mir beim lernen aufgefallen, dass ich es eben auch MIT mod's beweisen könnte. Da ich das aber nirgends finden konnte, dachte ich mir: fragst du hier nach. Ich habe beim Beweis eine Kleinigkeit vergessen und zwar 0,1,4=0,1,1mod3 da keine dieser zahlen 3 ist, ist auch [mm] m^2 [/mm] nicht gleich drei usw.
Also ginge es doch in dieser form zu beweisen oder liege ich komplett daneben?
Lg
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Hall exeqter,
> Ich habe beim
> Beweis eine Kleinigkeit vergessen und zwar 0,1,4=0,1,1mod3
> da keine dieser zahlen 3 ist, ist auch [mm]m^2[/mm] nicht gleich
> drei usw.
Doch, es ist ja eine der Zahlen 3: die Null. Du bewegst Dich gerade in Restklassen!
> Also ginge es doch in dieser form zu beweisen oder liege
> ich komplett daneben?
>
> Lg
Nein, ohne den Satz von Al kommst Du hier nicht damit hin. Alles, was Du so nachweisen kannst, ist, dass die Wurzel keine ganze Zahl sein kann (z.B. durch Betrachtung mod 5, nicht mod 3).
Wenn du aber schon weißt, dass die Lösung ganzzahlig oder irrational ist, dann kannst Du Dir auch noch [mm] \wurzel{n}
Vollständigkeitshalber müsstest Du ja zeigen, dass [mm] \wurzel{3} [/mm] nicht [mm] \bruch{p}{q} [/mm] sein kann. Dann müsstest Du aber zeigen, dass das dreifache eines quadratischen Restes nicht selbst ein quadratischer Rest sein kann. Wenn der Bruch vollständig gekürzt ist, kannst Du die Betrachtung des quadratischen Rests 0 ausschließen, und dann reicht wieder eine Betrachtung mod 5. Wie Du schon weißt, gibt es nur die quadratischen Reste 1 und 4, jeweils verdreifacht ergeben sich 3 und 2, beide quadratische Nichtreste.
Aber ob das dann kürzer ist als der klassische Beweis?
Immerhin geht es, aber eben nicht auf dem kurzen Weg, den Du vorschlägst.
Grüße
reverend
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