x^2*e^(-x^2) integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 15.04.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich habe eine erneute Frage zur Integration. Nachdem ich mich letztens mit der Fehlerfunktion befasst habe, muss ich nun ein weiteres Integral berechnen. Allerdings komme ich mit der Fehlerfunktion alleine wohl nicht weiter. Substitution und part. Integration führen leider nicht zum Erfolg.
Um dieses Integral geht es [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-x^2} dx}
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie ich hier vorzugehen habe?
Viele Grüße,
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 15.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe eine erneute Frage zur Integration. Nachdem ich
> mich letztens mit der Fehlerfunktion befasst habe, muss ich
> nun ein weiteres Integral berechnen. Allerdings komme ich
> mit der Fehlerfunktion alleine wohl nicht weiter.
> Substitution und part. Integration führen leider nicht zum
> Erfolg.
Ich denke doch.
Sollte es dir gelingen, mit partieller Integration zum Integral von
[mm]x*e^{-x^2} [/mm] zu kommen, so ist davon eine Stammfunktion leicht zu finden.
(Der Faktor x vor der e-Funktion ist FAST die (innere) Ableitung des Exponenten der e-Funktion. Lediglich der Faktor (-2) fehlt noch.)
Gruß Abakus
>
> Um dieses Integral geht es
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie ich
> hier vorzugehen habe?
>
> Viele Grüße,
>
> volk
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:29 So 15.04.2012 | | Autor: | volk |
Hallo abakus,
> Sollte es dir gelingen, mit partieller Integration zum
> Integral von
> [mm]x*e^{-x^2}[/mm] zu kommen, so ist davon eine Stammfunktion
> leicht zu finden.
das war auch mein Ziel, nur ist es mir hier nicht gelungen.
Ich habe jetzt
[mm] u=x^2 \to [/mm] u'=2x
[mm] v'=e^{-x^2} \to v=\bruch{1}{2}\wurzel{\pi}erf(x)
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-x^2} dx}=x^2\bruch{1}{2}\wurzel{\pi}erf(x)-\integral_{-\infty}^{\infty}{2x\bruch{1}{2}\wurzel{\pi}erf(x) dx}
[/mm]
und wenn ich es andersrum mache, habe ich im Integral so etwas wie [mm] ....-\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{3}x^4*e^{-x^2} dx}
[/mm]
Irgendwie komme ich ab diesem Punkt nicht weiter
Gruß
volk
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Hallo,
> ich habe eine erneute Frage zur Integration. Nachdem ich
> mich letztens mit der Fehlerfunktion befasst habe, muss ich
> nun ein weiteres Integral berechnen. Allerdings komme ich
> mit der Fehlerfunktion alleine wohl nicht weiter.
> Substitution und part. Integration führen leider nicht zum
> Erfolg.
>
> Um dieses Integral geht es
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie ich
> hier vorzugehen habe?
Möchtest du wissen, wie du das Integral mit Hilfe der Error-Funktion auflösen kannst?
Dann solltest du partiell integrieren mit
$f(x) = x$ und $g(x) = [mm] x*e^{-x^2}$
[/mm]
(f ableiten, g integrieren)
und erhältst das Ergebnis
[mm] $\int x^2 \cdot e^{-x^2} [/mm] \ d x = [mm] \frac{1}{4}(\sqrt{\pi} [/mm] erf(x) - 2x [mm] e^{-x^2})$.
[/mm]
Oder interessierst du dich nur für den Wert des Integrals?
Dann solltest du dir mal die Normalverteilung anschauen. Es gilt:
$f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }$
[/mm]
[mm] $E(X^2) [/mm] = [mm] \int_{\IR} x^2 [/mm] f(x) \ d x = [mm] \mu^2 [/mm] + [mm] \sigma^2$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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