x/((sinx)^2) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Di 22.12.2009 | | Autor: | Barbidi |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Stammfunktion |
Hallo, Ich bins schon wieder.
Nun habe ich die Aufgabe die Stammfunktion vom Integral [mm] x/((sin(x))^2) [/mm] zu bestimmen. Vllt kann mir da j auch nochmal jmd helfen.
Ich habe zuerst [mm] sin^2(x) [/mm] umgeschrieben nach 1/2(1-cos(2x)) und habe dann versucht zu substituieren, aber da kommt nur schwachsinn raus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Spontan würde ich sagen, dass du da partiell rangehen kannst.
Dabei musst du das Integral von [mm] \bruch{1}{sin^2x} [/mm] berechnen, und das kannst du vermutlich mit [mm] $sin(x)=\bruch{2\cdot{}tan(\bruch{x}{2})}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}$ [/mm] und der Substitution [mm] z=tan(\bruch{x}{2}) [/mm] bewerkstelligen.
Geht aber vielleicht auch einfacher.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Barbidi,
fiese Aufgabe. ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrator zeigt Dir zwar die Lösung, aber nicht den Weg dahin. Rückwärts rechnen, sprich die Lösung ableiten, ist auch nicht so hilfreich, dass man dabei direkt einen Weg finden könnte, wie es denn vorwärts geht.
Zwei mühsame Wege habe ich darum nur vorzuschlagen:
1) Den, den Teufel gehen will, partiell. Die bessere Ersetzung, um die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\sin^2{x}} [/mm] zu finden, ist aber [mm] u=\bruch{\cos{x}}{\sin{x}} [/mm] (wenn man das schonmal gemacht hat, erkennt man es eigentlich immer wieder  ), oder auch diese Stammfunktion partiell zu bestimmen, wieder ein schreibintensives Unterfangen.
2) Du wolltest substituieren. Das geht auch nicht ganz leicht. Ich würde wieder anfangen mit [mm] u=\bruch{\cos{x}}{\sin{x}}, [/mm] einfach wegen des einigermaßen vertrauten Nenners. Das gibt aber die unangenehme Aufgabe, [mm] \arctan{\left(\bruch{1}{u}\right)} [/mm] zu integrieren. Da helfen mir zwar ein paar trigonometrische Umrechnungen, aber irgendwie komme ich da auch nicht weiter.
Dann ist es manchmal hilfreich, von einer schon bekannten Ersetzung auszugehen und den unbekannten Rest stehen zu lassen. Ich versuche also, den [mm] \sin^2 [/mm] im Nenner wie gehabt wegzubekommen, lasse das x aber stehen, also:
[mm] u=x\bruch{\cos{x}}{\sin{x}}
[/mm]
Das finde ich nicht vielversprechend, zumal ich gar nicht sehe, wie ich jetzt u wieder in x umrechnen kann, aber dafür finde ich nun eine schöne Ableitung [mm] \bruch{du}{dx}. [/mm] Damit kann ich zwar nicht partiell weiter integrieren, aber ich bin fast fertig. Es ist ja nur noch [mm] \bruch{\cos{x}}{\sin{x}} [/mm] zu integrieren, also etwas von der Form [mm] \bruch{v'}{v}.
[/mm]
Um ehrlich zu sein, wäre das aber ein glücklicher Fund, wenn er einem denn in einer Klausur gelänge. Ohne ein bisschen Ausblick aufs Ziel ist diese Integration gelinde gesagt sauschwer.
Ich bin gespannt auf weitere Wege und lasse die Frage daher weiter teilweise unbeantwortet stehen.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der 1. Weg geht ja eigentlich mit deiner Substitution ganz schnell.
Der Knackpunkt liegt hier wohl nur, dass man [mm] u=\bruch{cosx}{sinx} [/mm] ersetzt.
Dann braucht man auch nur 2 Zeilen (schluderig geschrieben) auf einem A4-Blatt.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Di 22.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
> Dann braucht man auch nur 2 Zeilen (schluderig
> geschrieben) auf einem A4-Blatt.
Echt? Ich brauche mehr, obwohl ich klein schreibe und schreibfaul bin. Habe ich eine Abkürzung übersehen?
Aber ehrlich gesagt ist diese Substitution doch nicht unmittelbar naheliegend, selbst wenn sie funktioniert. Die "sieht" man nicht, wenn man sie nicht schon kennt. Kann man das also fordern? Alle anderen Wege sind arbeitsintensiv, und das Ergebnis alles andere als selbstverständlich.
Ich finde solche Aufgaben nicht fair, höchstens als Zusatzaufgabe, um die Besten und Erfahrensten zu finden und zu belohnen. Dass dann auch ein paar Glückliche darunter sind, die es nicht verdient hätten, ist ja nicht schlimm.
Wenn das aber eine Aufgabe für alle ist, dann beißen sich manche ergebnislos die Zähne daran aus, andere schaffen mit viel Denkarbeit und Mühe einen der schwierigen Wege, und ganz wenige finden eine Abkürzung. Das ist nicht der Sinn von Prüfungen, vielleicht noch nicht einmal von Übungsaufgaben. Da geht es doch erst einmal um die Beherrschung von Techniken. Integrationskünstler wird man später und freiwillig - für mich war das kein zu erreichendes Ideal. Ohne Wolfram hätte ich hier wahrscheinlich auch ein paar Stunden probiert, aber mit diesem praktischen Tool kam die Erinnerung an die längst vergessene Substitution mit klarem Aufleuchten wieder. Beruflich und privat integriere ich seit vielen Jahren nicht mehr, es besteht kein Bedarf dazu (von einfachsten und ganz seltenen Volumenberechnungen zum Zweck der Dimensionierung von irgendetwas nicht Rechtwinkligem und trotzdem Selbstgebauten einmal abgesehen).
Dies schreibe ich nicht als PN (private Nachricht), weil ich denke, dass es zumindest Barbidi auch interessiert. Soooo selbstverständlich ist es eben nicht, einen Integrationsweg zu finden. Nicht umsonst gilt die Integration als Sahnehäubchen und hohe Kunst, vielleicht nur noch von Differentialgleichungen "getoppt". Und natürlich bestimmten Einzelfällen in fast allen Disziplinen.
Übrigens: Deine vorgeschlagene Substitution hätte ich sicher nicht gefunden. Dazu sind meine Kenntnisse der trigonometrischen Umwandlungstheoreme doch zu elementar. Nachvollziehen kann ich das wohl, aber nur mit Zugriff auf eine Formelsammlung oder mit Zugeständnis von mehr als nur etwas zusätzlichem Zeitkontingent.
Herzliche Grüße
reverend
- und mich würde wirklich noch interessieren, wie man diese Integration in wenigen Zeilen löst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, auf deine Substitution wäre ich so schnell auch nicht gekommen.
Aber mit dem Wissen konnte ich das so machen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{sin^2x} dx}=\integral_{}^{}{x*\bruch{1}{sin^2x} dx}
[/mm]
Nun setzt man $a=x$ und $b'=sin^2x$.
[mm] \Rightarrow [/mm] a'=1, [mm] b=-\bruch{1}{tan(x)} [/mm] (hierfür braucht man noch eine kleine Nebenrechnung mit deiner Substitution)
Also: [mm] \integral_{}^{}{x*\bruch{1}{sin^2x} dx}=-\bruch{x}{tan(x)}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{tan(x)} dx}.
[/mm]
Und das letzte Integral lässt sich leicht mit z=sin(x) lösen. Oder durch scharfes Hinsehen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Mi 23.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
das habe ich nicht gesehen. Substitution und partielle Integration: das gibt eine schöne und intelligente Lösung.
Da sieht man doch mal wieder, wozu ein Forum gut ist. Zusammenarbeit führt einfach oft viel weiter, als man alleine käme. Wir hätten beide das Integral irgendwie gelöst, aber nicht so kurz und schön wie in Kooperation. Wobei ich Dir die Ehre der Ausarbeitung gerne lasse.
Danke also!
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hiho!
Ja, Zusammenarbeit ist natürlich immer gut! Leider komme ich so selten dazu.
Und na ja, wir beide haben wichtige Sachen dazu beigetragen, daher verdient das Integral nun den Namen Reverend-Teufel-Integral (na, wenn das kein toller Name ist).
Wie dem auch sei, nachdem das Biest erlegt ist, kann ich beruhigt schlafen.
Gute Nacht.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Mi 23.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Reverend-Teufel-Integral (na, wenn das kein toller Name
> ist).
Dann such doch mal nach Nikolaus von Kues und seiner Lehre von der "coincidentia oppositorum"...
Amen.
rev
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Seid auch meiner Reverenz an die Erle(di)gung
dieses teuflischen Biests gewiss !
Al-Chwarizmi
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