(x/(x+1))^x limes < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, wie kann ich den limes von:
[mm] (x/(x+1))^x
[/mm]
berechnen OHNE ausprobieren?
ich weiss nicht wie das mit Bruechen geht :/
Obwohl der Bruch gegen 1 geht, geht der Term richtung ca. 0.36...
Ist ja auch erklaerbar, da der bruch immer unter 1 seins wird
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, wie kann ich den limes von:
> [mm](x/(x+1))^x[/mm]
> berechnen OHNE ausprobieren?
Welcher Grenzübergang ist denn gegeben ? x [mm] \to [/mm] 0 oder x [mm] \to \infty [/mm] ?
>
> ich weiss nicht wie das mit Bruechen geht :/
> Obwohl der Bruch gegen 1 geht, geht der Term richtung ca.
> 0.36...
Aha ! Das sagt mir, das x [mm] \to \infty [/mm] gehen soll ! Woher hab ich das ?
Es ist
[mm] (\bruch{x}{x+1})^x=(1-\bruch{1}{x+1})^x=(1-\bruch{1}{x+1})^{x+1}*(1-\bruch{1}{x+1})^{-1}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Ist ja auch erklaerbar, da der bruch immer unter 1 seins
> wird
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Da du die Aufgabe unter Oberstufe (Klassen 11-13) gestellt hast,
will ich dir eine alternative Lösung zeigen.
Ihr habt sicher folgenden Grenzwert zur Verfügung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{z}{x})^x=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IR. [/mm]
Damit folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{x}{x+1})^x=\limes_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{1+\frac{1}{x}})^x=\frac{1}{\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{e^1}=e^{-1} [/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 23.01.2014 | | Autor: | sinnlos123 |
Hi,
ja DieAcht, diese Loesung sagt mir mehr :)
wir sind auch grad bei e angelangt mit genannter Gleichung.
Danke euch beiden!
(war nur ein 'privates' Problem)
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hi nochmal,
also ich moechte es nicht nur hinnehmen sondern verstehen, hab wohl letztens zu schnell druebergeguckt!
wie kommt man von
[mm] (x/(x+1))^x [/mm] auf [mm] (1/(1+1/x))^x [/mm] ?
da der exponent gleich ist:
x/(x+1)=1/(1+1/x) |*(x+1)
x=(x+1)/(1+1/x) |*(1+1/x)
x+1=x+1
-> korrekt
aber wie sieht man sowas 'schnell'?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:17 Sa 25.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Einfach x ausklammern 
DieAcht
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mmh, steh gerade aufm Schlauch :D
also wenn ich x ausklammer bei x/(1+x) :
x*(1/(1/x+1)
aber wo verschwindet das x jetzt? :O
die rechnung saehe dann ja so aus:
[mm] (x*(1/(1/x+1))^x
[/mm]
oder mach ich was falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:38 Sa 25.01.2014 | | Autor: | sinnlos123 |
Achsoo, x ausklammern damit man es kuerzen kann.
dann hab ichs verstanden :)
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