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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - y''+5y'=x+e^(-5x)
y''+5y'=x+e^(-5x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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y''+5y'=x+e^(-5x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Sa 20.10.2007
Autor: vivo

Hallo,

[mm] y''+5y'=x+e^{-5x} [/mm]

Lösungen der homogenen: [mm] e^{0x} [/mm] = 1  und [mm] e^{-5x} [/mm]

Spezielle Lösung der inhomogenen [mm] y''+5y'=e^{-5x} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{-5} xe^{-5x} [/mm]

soweit ok,

jetzt bräuchte ich noch eine Lösung der inhomogenen der Form y''+5y'= x

und dann könnte ich alle Lösungen zur allgemeinen Lösung addieren,

aber ich weiß nicht wie ich die spezielle Lösung von y''+5y'= x berechnen kann es gelingt mir weder durch den Differentialoperator noch durch den Ansatz [mm] Cxe^{0x} [/mm]

vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
y''+5y'=x+e^(-5x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Sa 20.10.2007
Autor: rainerS

Hallo vivo,

> [mm]y''+5y'=x+e^{-5x}[/mm]
>  
> Lösungen der homogenen: [mm]e^{0x}[/mm] = 1  und [mm]e^{-5x}[/mm]
>  
> Spezielle Lösung der inhomogenen [mm]y''+5y'=e^{-5x}[/mm] ist [mm]\bruch{1}{-5} xe^{-5x}[/mm]
>  
> soweit ok,
>  
> jetzt bräuchte ich noch eine Lösung der inhomogenen der Form y''+5y'= x
>
> und dann könnte ich alle Lösungen zur allgemeinen Lösung addieren,
>  
> aber ich weiß nicht wie ich die spezielle Lösung von
> y''+5y'= x berechnen kann es gelingt mir weder durch den
> Differentialoperator noch durch den Ansatz [mm]Cxe^{0x}[/mm]

Ich würde die DGL einmal integrieren:

[mm]y'+5y = \bruch{1}{2}x^2 - \bruch{1}{5}\mathrm{e}^{-5x}[/mm] + C

Die spezielle Lösung für den zweiten Term der Inhomogenität hast du ja schon bestimmt. Für den ersten kannst du entweder die Methode der Variation der Konstanten verwenden, also [mm]y=K(x)e^{-5x}[/mm] ansetzen und [mm]K(x)[/mm] bestimmen, oder aber einen Ansatz mit einem Polynom [mm]y=ax^2+bx+c[/mm] machen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
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