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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] y'=\pmat{ -5 & 3 \\ -15 & 7 }y [/mm] |
Hallo an euch alle!!
Ich hab bei dieser Aufgabe nur das Problem, dass ich nicht auf die Eigenvektoren komme um dann die fertige Lösung der Differentialgleichung angeben zu können. Ich scheine irgendetwas falsch zu machen.
Als Eigenwerte habe ich hier herausbekommen:
[mm] \lambda_{1}=1+3i
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=1-3i
[/mm]
Um nun die Eigenvektoren zu bekommen muss man ja nun dieses GLG lösen:
hier am Bsp. von [mm] \lambda_{1}
[/mm]
[mm] \pmat{ -6-3i & 3 \\ -15 & 6-3i }*x=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
aber hier bekomme ich jeweils nur 0 raus und das kann nicht sein. Da ich durch ein Rechnerprogramm weiß, dass einmal
[mm] \vec{v}_{1}=\vektor{1 \\ 2+0,999999999i}
[/mm]
[mm] \vec{v}_{2}=\vektor{1 \\ 2-0,9999999999i}
[/mm]
herauskommt.
Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen?
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> [mm]y'=\pmat{ -5 & 3 \\ -15 & 7 }y[/mm]
> Als Eigenwerte habe ich hier herausbekommen:
> [mm]\lambda_{1}=1+3i[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=1-3i[/mm]
> [mm]\pmat{ -6-3i & 3 \\ -15 & 6-3i }*x=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> aber hier bekomme ich jeweils nur 0 raus
Wieso?
> Da ich durch ein Rechnerprogramm weiß, dass einmal
> [mm]\vec{v}_{1}=\vektor{1 \\ 2+0,999999999i}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}_{2}=\vektor{1 \\ 2-0,9999999999i}[/mm]
> herauskommt.
Die vielen Neunen sollten Dich skeptisch machen. Hier liegt natürlich nur ein Rundungsproblem vor.
Außerdem ist der zweite Vektor falsch. Er gehört zu [mm] \lambda_2.
[/mm]
Der erste lautet richtig: [mm] \vec{v_1}=\vektor{1\\2+i}
[/mm]
Mach mal die Probe. Das stimmt. Vielleicht hast Du irgendwo einen Dreher in Deiner Rechnung? Oder wendest die Regeln für die Multiplikation zweier Matrizen falsch an? Dein Vektor [mm] \vec{x} [/mm] wird hier ja in der Multiplikation wie eine Matrix behandelt.
> Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen?
Hmmm, ich weiß nicht. Ich versuchs.
lg,
reverend
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Ich habe das Gleichungssystem folgendermaßen umgeschrieben, da ich es so besser sehe.
(-6+3i)x+3y=0
-15x+(6+3i)=0
Die untere Gleichung habe ich nun nach y umgestellt.
[mm] y=\bruch{15x}{6+3i}
[/mm]
das setze ich nun in die obere Gleichung ein und erhalte dann:
[mm] (-6+3i)x+\bruch{45x}{6+3i}=0
[/mm]
(-6+3i)x+(6-3i)x=0
0=0
und dass kann ja nicht.
wo könnte mein Fehler liegen. Ich seh ihn einfach nicht
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> Ich habe das Gleichungssystem folgendermaßen umgeschrieben,
> da ich es so besser sehe.
>
> (-6+3i)x+3y=0
> -15x+(6+3i)=0
>
> Die untere Gleichung habe ich nun nach y umgestellt.
>
> [mm]y=\bruch{15x}{6+3i}[/mm]
>
> das setze ich nun in die obere Gleichung ein und erhalte
> dann:
>
> [mm](-6+3i)x+\bruch{45x}{6+3i}=0[/mm]
> (-6+3i)x+(6-3i)x=0
> 0=0
>
> und dass kann ja nicht.
> wo könnte mein Fehler liegen. Ich seh ihn einfach nicht
Das Problem ist gewissermaßen(!) das Einsetzungsverfahren.
Überleg mal, was du erhalten hast. Wenn du die zweite in die erste Gleichung einsetzt, erhältst du 0 = 0, also eine wahre Aussage. Das bedeutet, deine beiden Gleichungen sagen exakt dasselbe über die Beziehung von x und y aus. (Wenn du z.B. x + y = 2 nach y umformst und dann wieder in x + y = 2 einsetzt, wirst du genau dasselbe Ergebnis 0 = 0, also wahre Aussage erhalten)
Du könntest praktisch "eine Gleichung weglassen".
Du behältst also die erste Gleichung
(-6+3i)x+3y=0
und formst die nach y um:
y = (2-i)*x
und bist fertig. Alle Lösungsvektoren haben dann die Form
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{x\\(2-i)*x} [/mm] = [mm] x*\vektor{1\\2-i}
[/mm]
Grüße,
Stefan.
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