y(x) und y'(x) Berechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Robert |
Servus!
Ich soll aus der Gleichung [mm] x^2*y(x)^3-3*(x^2+1)^2=x^3*y(x)-6 [/mm] y(1) und y'(1) berechnen. Ich komm da leider nicht weiter. Wie gehe ich das an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
ich denke, das sollte sich mit dem Satz über implizite Funktionen lösen lassen, die in unserem 2dimensionalen Fall so lautet: Bitte lies die Voraussetzungen noch in deinen Unterlagen (Skript?) nach:
Wenn eine Gleichung
[mm]f(x,y(x)) = 0[/mm] gegeben ist, dann gilt in einem Punkt [mm](a,b)[/mm], wo [mm]f(a,b)=0[/mm] ist:
[mm]y'(x) = - \bruch{\delta f/\delta x}{\delta f/\delta y}[/mm]
Die Aufgabe ist jetzt also:
a) den Punkt [mm](a,b)[/mm] zu finden und
b) die partiellen Ableitungen zu bilden.
Die gegebene Gleichung ist ja:
[mm]x^2*y^3-3(x^2+1)^2-x^3y+6 = 0[/mm]
da die Ableitung bei bei [mm]y(1)[/mm] gesucht ist, können wir in obiger Gleichung gleich mal [mm]x=1[/mm] einsetzen, und es entsteht:
[mm]y^3-12-y+6 = 0 [/mm], und [mm]y=2[/mm] erfüllt die Gleichung ersichtlich.
Somit gilt [mm](a,b) = (1,2)[/mm]
Ich glaube, die partiellen Ableitungen und den Quotienten davon an der Stelle [mm](x,y)=(1,2)[/mm] zu berechnen, schaffst du alleine weiter.
Falls nicht, dann meldest du dich einfach wieder.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Robert |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle und gute Antwort Paulus!
Leider ist mir nicht ganz klar, wie ich jetzt noch den Wert von y'(1) finde. Kannst du mir das bitte erklären? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
> Erstmal vielen Dank für deine schnelle und gute Antwort
> Paulus!
>
> Leider ist mir nicht ganz klar, wie ich jetzt noch den Wert
> von y'(1) finde. Kannst du mir das bitte erklären? Danke!
>
Hast du denn die beiden partiellen Ableitungen schon gebildet?
Wie gesagt, es gilt (*): [mm]y'(x) = - \bruch{\delta f/\delta x}{\delta f/\delta y}[/mm]
... und wir haben oben ja herausgefunden, dass [mm]y(1)=2[/mm] ist.
Du brauchst also wirklich nur die beiden partiellen Ableitungen zu bilden und dort für [mm]x=1[/mm] und [mm]y=2[/mm] zu setzen und in (*) einzusetzen.
Ich schlage vor, du berechnest doch mal die partiellen Ableitungen, damit ich mit meiner Lösung vergleichen können. Nachher sehen wir wieder weiter.
(Ich bleibe online, damit wir den Dialog schön zügig führen können) 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Robert |
Also,
[mm] fx=2x*y^3-12*x^3-12*x-3*x^2*y
[/mm]
[mm] fy=x^2*3*y^2-3*x^4-6*x^2-x^3
[/mm]
Wären diese partiellen Ableitungen so richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Robert |
Stimmt, habe ich wohl ganz übersehen.
Wie mache ich denn nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
> Stimmt, habe ich wohl ganz übersehen.
>
> Wie mache ich denn nun weiter?
>
Nun, jetzt da wir alles wissen, was wir brauchen, benützen wir eben noch die Formel aus meiner 1. Antwort:
[mm]y'(x) = - \bruch{\delta f/\delta x}{\delta f/\delta y}[/mm]
Also:
[mm]y'(x) = - \bruch{2xy^3-12x^3-12x-3x^2y}{3x^2y^2-x^3}[/mm]
... und wir wissen ja, dass [mm](x,y) = (1,2)[/mm]. Falls dir das nicht klar ist, bitte melden!! Das setzen wir also noch ein:
[mm]y'(1) = - \bruch{16-12-12-6}{12-1}=- \bruch{-14}{11}= \bruch{14}{11}[/mm]
P.S. Bitte meldest du dich auf alle Fälle, damit ich nicht mehr so auf Draht sein muss?
Wenn dir noch etwas unklar ist, dann meldest du dich bitte auch. Du siehst ja, ein Besuch im Matheraum lohnt sich immer! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 03.05.2004 | | Autor: | Robert |
Gut, denn hab ich es ja sogar richtig gemacht!
Vielen Dank für deine Mühe und die enorm gute und schnelle Betreuung! Wären wir noch in der Schule, würdest du von mir eine glatte 1 bekommen ;)
Schönen Abend noch und bis zum nächsten Mal!
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