z^4=-1 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 13.11.2004 | | Autor: | kalina |
Hallo!
Ich soll folgende Gleichung lösen: [mm] z^4=-1
[/mm]
Mein Ansatz ist: [mm] -1=i^2 \Rightarrow z^4=i^2 \Rightarrow z^2=i. [/mm] Ich weiß, dass z=a [mm] \pm [/mm] ib Ich habe es mit Ausmultiplizieren versucht, komme aber letztendlich zu keiner Lösung. Was mach ich falsch? Tut mir leid, dass ich mich so blöd anstelle, aber ich stehe noch am Anfang meines Studiums und habe noch nicht so oft mit komplexen Zahlen gerechnet.
z...komplexe Zahl
i...imaginäre Einheit
a...Realteil von z
b...Imaginärteil von z
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Deine Umformung geht so einfach (also ohne Fallunterscheidungen) nicht, weil bei der Gleichung [mm]-1=i^2 \Rightarrow z^4=i^2 \Rightarrow z^2=i[/mm] beim Wurzelnziehen im letzten Schritt die Eindeutigkeit nicht mehr passen könnte: aus [mm]z^2=i[/mm] folgt genauso [mm]z^4=i^2[/mm], wie aus [mm]z^2=-i[/mm].
Andere Vorgehensweise: erstmal bestimmst du den Betrag von [mm]z^4[/mm]. Es gilt nämlich: [mm]|z^4|=|z|^4[/mm].
Hier also: [mm]|z^4|=|z|^4=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]|z|=1[/mm] (beachte: hier wird nach ner Länge gesucht, deswegen hat die Gleichung [mm]|z|^4=1[/mm] keine 2 Lösungen).
Als nächstes brauchen wir alle Argumente (Winkel, die der Vektor dieser Zahl i.d. komplexen Zahlenebene mit der reellen Achse einschließt), die hier möglich sind.
Wichtig: wenn man 2 komplexe Zahlen multipliziert, dann multiplizieren sich ihre Beträge (=Längen), und addieren sich ihre Argumente.
Hier haben wir: [mm]arg(z^4)=\pi[/mm] (erkennst du, wenn du den Vektor in die kompl. Zahlenebene einzeichnest).
Aber es sind insgesamt 4 verschiedene Winkel (da Gleichung 4. Grades) für [mm]z^4[/mm] möglich: [mm]arg(z^4)=\pi[/mm] , [mm]arg(z^4)=\pi+2*\pi[/mm] , [mm]arg(z^4)=\pi+4*\pi[/mm] , [mm]arg(z^4)=\pi+6*\pi[/mm]
Und dan ja gilt: [mm]arg(z^4)=irgendwas[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] [mm]arg(z)=\bruch{1}{4}*arg(z)[/mm] , erhalten wir hier die folgenden verschiedenen Argumente für [mm]z[/mm]:
[mm]arg(z)=\bruch{\pi}{4}[/mm] , [mm]arg(z)=\bruch{3*\pi}{4}[/mm] , [mm]arg(z)=\bruch{5*\pi}{4}[/mm] , [mm]arg(z)=\bruch{7*\pi}{4}[/mm].
Und alle diese Zahlen haben dieselbe Länge [mm]|z|=1[/mm]
Also setzen wir diese Zahlen in der Polarkoodinatendarstellung zusammen:
[mm]z_1=1*(cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}))[/mm]
[mm]z_2=1*(cos(\bruch{3*\pi}{4})+i*sin(\bruch{3*\pi}{4}))[/mm]
[mm]z_3=1*(cos(\bruch{5*\pi}{4})+i*sin(\bruch{5*\pi}{4}))[/mm]
[mm]z_4=1*(cos(\bruch{7*\pi}{4})+i*sin(\bruch{7*\pi}{4}))[/mm]
Vereinfacht ergibt sich nun:
[mm]z_1=\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
[mm]z_2=\bruch{-\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
[mm]z_3=\bruch{-\wurzel{2}}{2}-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
[mm]z_4=\bruch{\wurzel{2}}{2}-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Und ich hoffe noch, dass ich mich da nicht verrechnet hab...
So ne ähnliche Aufgabe (Gleichung 2. Ordnung) hab ich hier:
https://matheraum.de/read?i=23848
schon mal gerechnet, und in diesem Diskussionsstrang wirst du noch weitere 3 Aufgabenstellungen zu diesem Thema (noch ohne Lösungen) finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Sa 13.11.2004 | | Autor: | kalina |
Das ging ja schnell. Vielen Dank für die Hilfe!!!! Und vorallem für die Mühe und die Zeit, die du für mich geopferst hast. Danke!!!!!
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