z geometrisch charakterisieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Di 02.08.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | Charakterisieren Sie geometrisch diejenigen z [mm] \in \IC [/mm] für die gilt:
(Die ersten beiden Aufgaben konnte ich lösen
i) 0 < Re(i*z) < 1 <-- erledigt
ii) |z-2+3*i| = 5 <-- erledigt
iii) |z-2| + |z+2| = 5 <-- komme hier einfach nicht weiter
iv) |z| = Re(z) +1 <-- erledigt |
Hallo,
vorweg: komplexe Zahlen sind komplett Neuland für mich. Ich habe vorher noch nie mit komplexe Zahlen gerechnet.
Es geht um die Aufgabe iii)
| z-2| + |z+2| = 5
Nun habe ich folgendes versucht:
z = x + yi
z = komplexe Zahl
x = Realteil (grafisch wird es auf der x-Achse eingetragen)
yi = Imaginärteil (grafisch wird es auf der y-Achse eingetragen)
[mm] \wurzel{(z-2)^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(z+2)^{2}} [/mm] = 5
z einsetzen:
[mm] \wurzel{((x+yi)-2)^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{((x+yi)+2)^{2}} [/mm] = 5
Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter.
Ich weiß einfach nicht wie man die Wurzeln wegbekommen kann.
Wenn ich alles hoch 2 nehme, bleibt auf der linken Seite trotzdem noch eine Wurzel übrig.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße!
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Hallo JanineH.,
> Charakterisieren Sie geometrisch diejenigen z [mm]\in \IC[/mm] für
> die gilt:
> (Die ersten beiden Aufgaben konnte ich lösen
>
> i) 0 < Re(i*z) < 1 <-- erledigt
> ii) |z-2+3*i| = 5 <-- erledigt
> iii) |z-2| + |z+2| = 5 <-- komme hier einfach nicht
> weiter
> iv) |z| = Re(z) +1 <-- erledigt
> Hallo,
>
> vorweg: komplexe Zahlen sind komplett Neuland für mich.
> Ich habe vorher noch nie mit komplexe Zahlen gerechnet.
> Es geht um die Aufgabe iii)
>
> | z-2| + |z+2| = 5
>
> Nun habe ich folgendes versucht:
>
> z = x + yi
>
> z = komplexe Zahl
> x = Realteil (grafisch wird es auf der x-Achse
> eingetragen)
> yi = Imaginärteil (grafisch wird es auf der y-Achse
> eingetragen)
>
> [mm]\wurzel{(z-2)^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{(z+2)^{2}}[/mm] = 5
>
> z einsetzen:
Zunächst mal ist [mm]\vmat{z-2}[/mm] der Betrag der komplexen Zahl x+iy-2.
Demnach [mm]\vmat{z-2}=\wurzel{\left(x-2\right)^{2}+y^{2}}[/mm].
Für [mm]\vmat{z-2}[/mm] analog.
> [mm]\wurzel{((x+yi)-2)^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{((x+yi)+2)^{2}}[/mm] = 5
>
> Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter.
> Ich weiß einfach nicht wie man die Wurzeln wegbekommen
> kann.
> Wenn ich alles hoch 2 nehme, bleibt auf der linken Seite
> trotzdem noch eine Wurzel übrig.
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Der Ausdruck hat doch die Form:
[mm]\wurzel{u_{1}}+\wurzel{u_{2}}=5 \gdw \wurzel{u_{1}}=5-\wurzel{u_{2}}[/mm]
Dies quadrierst Du und formst so um,
daß die entstehende Wurzel auf einer Seite allein steht.
Dies quadrierst Du nun wieder.
>
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Di 02.08.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hi MathePower,
danke für den Tipp!
habe es mal versucht:
[mm] \wurzel{(x-2)^{2}+y^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}} [/mm] = 5
[mm] \gdw \wurzel{(x-2)^{2}+y^{2}} [/mm] = 5 - [mm] \wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}} [/mm] |²
[mm] \gdw (x-2)^{2}+y^{2} [/mm] = (5 - [mm] \wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}})^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (x-2)^{2}+y^{2} [/mm] = 25 - [mm] 10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}} [/mm] + [mm] (x+2)^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-4x+4 [/mm] -25 [mm] -(x^{2}+4x+4) [/mm] = [mm] -10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -8x -25 = [mm] -10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}} [/mm] |²
[mm] \gdw 64x^{2}+400x+625 [/mm] = [mm] 100((x+2)^{2}+y^{2})
[/mm]
[mm] \gdw 64x^{2}+400x+625 [/mm] = [mm] 100(x^{2}+4x+4+y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 64x^{2}+400x+625 [/mm] = [mm] 100x^{2}+400x+400+100y^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -225 = [mm] -36x^{2}+100y^{2}
[/mm]
Habe es bei Wolfram zeichnen lassen und es kommt eine Hyperbel raus.
Es muss aber eine Ellipse sein.
Ich habe es, so wie du gesagt hast, umgeformt.
Erst quadriert - dann Wurzel auf eine Seite - dann wieder quadriert.
Verstehe nicht, warum jetzt eine Hyperbel rauskommt, obwohl es eine Ellipse sein sollte :/
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 02.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> danke für den Tipp!
> habe es mal versucht:
>
> [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+y^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}[/mm] = 5
> [mm]\gdw \wurzel{(x-2)^{2}+y^{2}}[/mm] = 5 -
> [mm]\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}[/mm] |²
> [mm]\gdw (x-2)^{2}+y^{2}[/mm] = (5 - [mm]\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}})^{2}[/mm]
> [mm]\gdw (x-2)^{2}+y^{2}[/mm] = 25 - [mm]10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}[/mm] +
> [mm](x+2)^{2}+y^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-4x+4[/mm] -25 [mm]-(x^{2}+4x+4)[/mm] =
> [mm]-10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] -8x -25 = [mm]-10\wurzel{(x+2)^{2}+y^{2}}[/mm] |²
> [mm]\gdw 64x^{2}+400x+625[/mm] = [mm]100((x+2)^{2}+y^{2})[/mm]
> [mm]\gdw 64x^{2}+400x+625[/mm] = [mm]100(x^{2}+4x+4+y^{2}[/mm]
> [mm]\gdw 64x^{2}+400x+625[/mm] = [mm]100x^{2}+400x+400+100y^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] -225 = [mm]-36x^{2}+100y^{2}[/mm]
das ist fast richtig: nur in der letzten Aequivalenz hast du dich verrechnet und ein falsches Vorzeichen von [mm] $x^2$ [/mm] und $225$ herausbekommen. Wenn du das beruecksichtigst, bekommst du auch eine Ellipse.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Di 02.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Charakterisieren Sie geometrisch diejenigen z [mm]\in \IC[/mm] für
> die gilt:
> (Die ersten beiden Aufgaben konnte ich lösen
>
> i) 0 < Re(i*z) < 1 <-- erledigt
> ii) |z-2+3*i| = 5 <-- erledigt
> iii) |z-2| + |z+2| = 5 <-- komme hier einfach nicht
> weiter
> iv) |z| = Re(z) +1 <-- erledigt
Nur mal so für dich zum Vergleich:
Die Lösung von i) ist der Streifen -1<y<0.
Die Lösung von ii) ist ein Kreis um (2-3i) mit dem Radius 5.
Die Lösung von iV) ist die Parabel [mm] y^2=2x+1
[/mm]
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Di 02.08.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey abakus,
habe es mit meinen Ergebnissen verglichen und es stimmt soweit!
Danke nochmal für die Kontrolle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 02.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Charakterisieren Sie geometrisch diejenigen z [mm]\in \IC[/mm] für
> die gilt:
> (Die ersten beiden Aufgaben konnte ich lösen
>
> i) 0 < Re(i*z) < 1 <-- erledigt
> ii) |z-2+3*i| = 5 <-- erledigt
> iii) |z-2| + |z+2| = 5 <-- komme hier einfach nicht
> weiter
> iv) |z| = Re(z) +1 <-- erledigt
> Hallo,
>
> vorweg: komplexe Zahlen sind komplett Neuland für mich.
> Ich habe vorher noch nie mit komplexe Zahlen gerechnet.
> Es geht um die Aufgabe iii)
>
> | z-2| + |z+2| = 5
>
> Nun habe ich folgendes versucht:
Hallo,
die ganze Rechnerei hättest du dir sparen können, wenn du die Definition einer Ellipse kennst.
| z-2| + |z+2| = 5
oder, anders ausgedrückt
| z-2| + |z-(-2)| = 5
bedeutet nichts anders als
"Die Summe der Abstände von z zu den Punkten (2;0) und (-2;0) beträgt 5."
Genau das ist die Definition einer Ellipse mit den Brennpunkten (2;0) und (-2;0) und der großen Halbachse 2,5.
Gruß Abakus
>
> z = x + yi
>
> z = komplexe Zahl
> x = Realteil (grafisch wird es auf der x-Achse
> eingetragen)
> yi = Imaginärteil (grafisch wird es auf der y-Achse
> eingetragen)
>
> [mm]\wurzel{(z-2)^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{(z+2)^{2}}[/mm] = 5
>
> z einsetzen:
>
> [mm]\wurzel{((x+yi)-2)^{2}}[/mm] + [mm]\wurzel{((x+yi)+2)^{2}}[/mm] = 5
>
> Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter.
> Ich weiß einfach nicht wie man die Wurzeln wegbekommen
> kann.
> Wenn ich alles hoch 2 nehme, bleibt auf der linken Seite
> trotzdem noch eine Wurzel übrig.
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
> Liebe Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 05.08.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey abakus,
habe verstanden was du meinst!
also ich weiß, wie man es sich grafisch vorstellen kann, aber wie kannst du es anhand einer Gleichung erkennen?
mein Gedankengang:
Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand zum Ursprung oder auch der Radius bei der Polarkoordination.
In der Gleichung hat man ja zwei komplexe Zahlen!
Die Summe der Abstände beider komplexen Zahlen zum Ursprung (0;0) ist gleich 5.
Nun verstehe ich nicht, wie du auf die Punkte (-2;0) und (2;0) kommst...
Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja der Abstand zum Ursprung.
schönes Wochenende!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> habe verstanden was du meinst!
> also ich weiß, wie man es sich grafisch vorstellen kann,
> aber wie kannst du es anhand einer Gleichung erkennen?
>
> mein Gedankengang:
>
> Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand zum
> Ursprung oder auch der Radius bei der Polarkoordination.
> In der Gleichung hat man ja zwei komplexe Zahlen!
> Die Summe der Abstände beider komplexen Zahlen zum
> Ursprung (0;0) ist gleich 5.
> Nun verstehe ich nicht, wie du auf die Punkte (-2;0) und
> (2;0) kommst...
> Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja der Abstand zum
> Ursprung.
Ja, und der Betrag von $a - b$ ist der Abstand zwischen den Zahlen $a [mm] \in \IC$ [/mm] und $b [mm] \in \IC$.
[/mm]
Hier hast du [mm] $\abs{z - 2}$ [/mm] und [mm] $\abs{z + 2}$ [/mm] stehen. Der erste Betrag ist der Abstand von $z$ zur komplexen Zahl $2 = 2 + 0 [mm] \cdot [/mm] i$, welche dem Punkt $(2, 0)$ entspricht. Der zweite ist der Abstand von $z$ zur komplexen Zahl $-2 = -2 + 0 [mm] \cdot [/mm] i$, welche dem Punkt $(-2, 0)$ entspricht.
LG Felix
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