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| Aufgabe | Hi, könnte ihr mal meine Aufgabe überprüfen:
"wähle alpha so, dass f(x) stetig. Ist f(x) für dieses alpha differenzierbar?
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \le 0 \\ \alpha (2-x)^2, & \mbox{für } x >0 \end{cases}
[/mm]
mfg |
Ok, Ich sehe, dass ich die Stelle 0 überprüfen muss und sehe mir desshalb den linkseitigen bzw, rechtsseitigen Grenzwert an.
Denn es müsste doch gelten f(0) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}_{x \le 0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}_{x > 0}
[/mm]
Also gut:
x [mm] \le [/mm] 0 erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^2 [/mm] = 0
x > 0 erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \alpha(4-2x+x^2) [/mm] = [mm] 4\alpha
[/mm]
f(0) erhalte ich ebefalls 0
Somit gilt doch 0= [mm] 4\alpha [/mm] =0 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] =0
Ist das soweit richtig?
Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist, da für [mm] x\le [/mm] 0 ist [mm] x^2 [/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
Habe ich das so richtig verstanden?
mfg
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Hallo Steffen,
es gibt sicher blödere Aufgabenstellungen, aber mir will gerade keine einfallen... 
> "wähle alpha so, dass f(x) stetig. Ist f(x) für dieses
> alpha differenzierbar?
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \le 0 \\
\alpha (2-x)^2, & \mbox{für } x >0 \end{cases}[/mm]
>
>
> Ok, Ich sehe, dass ich die Stelle 0 überprüfen muss und
> sehe mir desshalb den linkseitigen bzw, rechtsseitigen
> Grenzwert an.
>
> Denn es müsste doch gelten f(0) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}_{x \le 0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}_{x > 0}[/mm]
Komplett richtig.
> Also gut:
>
> x [mm]\le[/mm] 0 erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^2[/mm] = 0
>
> x > 0 erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \alpha(4-2x+x^2)[/mm] = [mm]4\alpha[/mm]
>
> f(0) erhalte ich ebefalls 0
Äh, nein. Das ist die Bedingung, die Du aus dem Grenzwert [mm] \to0 [/mm] für [mm] x\le0 [/mm] gewonnen hast. Die setzt Du jetzt ein:
> Somit gilt doch 0= [mm]4\alpha[/mm] =0 [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] =0
>
> Ist das soweit richtig?
Jawollja.
> Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist,
> da für [mm]x\le[/mm] 0 ist [mm]x^2[/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
>
> Habe ich das so richtig verstanden?
Nein. Interessant ist doch hier nur noch die Frage, ob f(x) mit [mm] \alpha=0 [/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
Dazu musst Du links- und rechtsseitig die Ableitungen untersuchen.
Die Antwort wird ja sein, aber Du musst es noch zeigen.
Grüße
reverend
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> > Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist,
> > da für [mm]x\le[/mm] 0 ist [mm]x^2[/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
> >
> > Habe ich das so richtig verstanden?
>
> Nein. Interessant ist doch hier nur noch die Frage, ob f(x)
> mit [mm]\alpha=0[/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
>
> Dazu musst Du links- und rechtsseitig die Ableitungen
> untersuchen.
> Die Antwort wird ja sein, aber Du musst es noch zeigen.
Also für x [mm] \le [/mm] 0
$f(x)= [mm] x^2 \Rightarrow [/mm] f'(x) = 2x $
für x=0 würde dies doch eindeutig differenzierbar sein
und für x> 0
$f(x) = [mm] \alpha(4-2x+x^2) =4\alpha -2\alpha [/mm] x + [mm] \alpha x^2 \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] -2\alpha [/mm] + [mm] 2\alpha [/mm] x$
und dies bei x=0 wäre doch differenzierbar auch wenn [mm] \alpha [/mm] 0 wäre:
Sprich:
[mm] \alpha=0
[/mm]
$f'(0) = [mm] -2\cdot [/mm] 0 + [mm] 2\cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$
Hast du das so gemeint?
mfg
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo,
> Sprich:
> [mm]\alpha=0[/mm]
>
> [mm]f'(0) = -2\cdot 0 + 2\cdot 0 \cdot 0 = 0[/mm]
>
> Hast du das so gemeint?
ich würde mal sagen: genau so hat reverend es gemeint. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 22.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Diophant vermutet ziemlich richtig - so in etwa habe ich das gemeint. Nur die logische Reihenfolge stimmt noch nicht ganz:
> > > Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist,
> > > da für [mm]x\le[/mm] 0 ist [mm]x^2[/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
> > >
> > > Habe ich das so richtig verstanden?
> >
> > Nein. Interessant ist doch hier nur noch die Frage, ob f(x)
> > mit [mm]\alpha=0[/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
> >
> > Dazu musst Du links- und rechtsseitig die Ableitungen
> > untersuchen.
> > Die Antwort wird ja sein, aber Du musst es noch
> zeigen.
>
> Also für x [mm]\le[/mm] 0
>
> [mm]f(x)= x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x[/mm]
>
> für x=0 würde dies doch eindeutig differenzierbar sein
Schon. Aber das tut hier doch nichts zur Sache. Noch fehlt der rechtsseitige Grenzwert.
> und für x> 0
>
> [mm]f(x) = \alpha(4-2x+x^2) =4\alpha -2\alpha x + \alpha x^2 \Rightarrow f'(x) = -2\alpha + 2\alpha x[/mm]
>
> und dies bei x=0 wäre doch differenzierbar auch wenn
> [mm]\alpha[/mm] 0 wäre:
Bei x=0 existiert diese Ableitung gar nicht, weil sie ja nur für x>0 definiert ist. Aber ihr Grenzwert für [mm] x\to0 [/mm] ist 0.
> Sprich:
> [mm]\alpha=0[/mm]
>
> [mm]f'(0) = -2\cdot 0 + 2\cdot 0 \cdot 0 = 0[/mm]
Wie gesagt, da gehört ein Limes hin.
Und erst wenn Du herausgefunden hast, dass links- und rechtsseitiger Limes gleich sind, hast Du damit auch gezeigt, dass die gestückelte Funktion f(x) an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
Übrigens ist sie das für [mm] \alpha=0 [/mm] sogar unendlich oft. Aber das war ja gar nicht gefragt.
edit: Quatsch. Siehe Freds Hinweis. Schon [mm] \blue{f'(x)} [/mm] ist bei x=0 nicht differenzierbar, oder anders gesagt: [mm] \blue{f''(x)} [/mm] ist nicht stetig (Sprungstelle bei x=0).
> Hast du das so gemeint?
Lies diese Mitteilung nochmal gründlich nach. Das ist nicht das gleiche, was Du schreibst. Ich würde Dir dafür Fehler anstreichen, mindestens zwei.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Sa 22.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> Diophant vermutet ziemlich richtig - so in etwa habe ich
> das gemeint. Nur die logische Reihenfolge stimmt noch nicht
> ganz:
>
> > > > Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist,
> > > > da für [mm]x\le[/mm] 0 ist [mm]x^2[/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
> > > >
> > > > Habe ich das so richtig verstanden?
> > >
> > > Nein. Interessant ist doch hier nur noch die Frage, ob f(x)
> > > mit [mm]\alpha=0[/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
> > >
> > > Dazu musst Du links- und rechtsseitig die Ableitungen
> > > untersuchen.
> > > Die Antwort wird ja sein, aber Du musst es noch
> > zeigen.
> >
> > Also für x [mm]\le[/mm] 0
> >
> > [mm]f(x)= x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x[/mm]
> >
> > für x=0 würde dies doch eindeutig differenzierbar sein
>
> Schon. Aber das tut hier doch nichts zur Sache. Noch fehlt
> der rechtsseitige Grenzwert.
>
> > und für x> 0
> >
> > [mm]f(x) = \alpha(4-2x+x^2) =4\alpha -2\alpha x + \alpha x^2 \Rightarrow f'(x) = -2\alpha + 2\alpha x[/mm]
>
> >
> > und dies bei x=0 wäre doch differenzierbar auch wenn
> > [mm]\alpha[/mm] 0 wäre:
>
> Bei x=0 existiert diese Ableitung gar nicht, weil sie ja
> nur für x>0 definiert ist. Aber ihr Grenzwert für [mm]x\to0[/mm]
> ist 0.
>
> > Sprich:
> > [mm]\alpha=0[/mm]
> >
> > [mm]f'(0) = -2\cdot 0 + 2\cdot 0 \cdot 0 = 0[/mm]
>
> Wie gesagt, da gehört ein Limes hin.
> Und erst wenn Du herausgefunden hast, dass links- und
> rechtsseitiger Limes gleich sind, hast Du damit auch
> gezeigt, dass die gestückelte Funktion f(x) an der Stelle
> x=0 differenzierbar ist.
>
> Übrigens ist sie das für [mm]\alpha=0[/mm] sogar unendlich oft.
Hallo Reverend,
Für [mm] \alpha=0 [/mm] sieht die Ableitung so aus:
$ [mm] f'(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \le 0 \\ 0, & \mbox{für } x >0 \end{cases} [/mm] $
f' ist aber in 0 nicht differenzierbar !
Oder hab ich was falsch verstanden ?
Gruß FRED
> Aber das war ja gar nicht gefragt.
>
> > Hast du das so gemeint?
>
> Lies diese Mitteilung nochmal gründlich nach. Das ist
> nicht das gleiche, was Du schreibst. Ich würde Dir dafür
> Fehler anstreichen, mindestens zwei.
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Sa 22.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Für [mm]\alpha=0[/mm] sieht die Ableitung so aus:
>
>
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \le 0 \\
0, & \mbox{für } x >0 \end{cases}[/mm]
>
>
> f' ist aber in 0 nicht differenzierbar !
>
>
> Oder hab ich was falsch verstanden ?
Nee, ich war nur zu schnell. Du hast vollkommen Recht. Wie eigentlich immer.
Grüße
reverend
PS: Ich korrigiere das mal so, dass Dein Beitrag noch verständlich bleibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 22.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> Diophant vermutet ziemlich richtig - so in etwa habe ich
> das gemeint. Nur die logische Reihenfolge stimmt noch nicht
> ganz:
>
> > > > Wenn ja, würde ich sagen, dass f(x) differenzierbar ist,
> > > > da für [mm]x\le[/mm] 0 ist [mm]x^2[/mm] diffbar und für x> 0 iat 0 diffbar
> > > >
> > > > Habe ich das so richtig verstanden?
> > >
> > > Nein. Interessant ist doch hier nur noch die Frage, ob f(x)
> > > mit [mm]\alpha=0[/mm] auch an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
> > >
> > > Dazu musst Du links- und rechtsseitig die Ableitungen
> > > untersuchen.
> > > Die Antwort wird ja sein, aber Du musst es noch
> > zeigen.
> >
> > Also für x [mm]\le[/mm] 0
> >
> > [mm]f(x)= x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x[/mm]
> >
> > für x=0 würde dies doch eindeutig differenzierbar sein
>
> Schon. Aber das tut hier doch nichts zur Sache. Noch fehlt
> der rechtsseitige Grenzwert.
>
> > und für x> 0
> >
> > [mm]f(x) = \alpha(4-2x+x^2) =4\alpha -2\alpha x + \alpha x^2 \Rightarrow f'(x) = -2\alpha + 2\alpha x[/mm]
>
> >
> > und dies bei x=0 wäre doch differenzierbar auch wenn
> > [mm]\alpha[/mm] 0 wäre:
>
> Bei x=0 existiert diese Ableitung gar nicht, weil sie ja
> nur für x>0 definiert ist. Aber ihr Grenzwert für [mm]x\to0[/mm]
> ist 0.
>
> > Sprich:
> > [mm]\alpha=0[/mm]
> >
> > [mm]f'(0) = -2\cdot 0 + 2\cdot 0 \cdot 0 = 0[/mm]
>
> Wie gesagt, da gehört ein Limes hin.
> Und erst wenn Du herausgefunden hast, dass links- und
> rechtsseitiger Limes gleich sind, hast Du damit auch
> gezeigt, dass die gestückelte Funktion f(x) an der Stelle
> x=0 differenzierbar ist.
>
> Übrigens ist sie das für [mm]\alpha=0[/mm] sogar unendlich oft.
> Aber das war ja gar nicht gefragt.
> edit: Quatsch. Siehe Freds Hinweis. Schon [mm]\blue{f'(x)}[/mm] ist
> bei x=0 nicht differenzierbar, oder anders gesagt:
> [mm]\blue{f''(x)}[/mm] ist nicht stetig (Sprungstelle bei x=0).
Hallo reverend,
ich nerve, aber f''(0) ex. nicht. f'' ist nur auf [mm] \IR [/mm] \ { 0 } def. Dort ist f'' stetig.
FRED
>
> > Hast du das so gemeint?
>
> Lies diese Mitteilung nochmal gründlich nach. Das ist
> nicht das gleiche, was Du schreibst. Ich würde Dir dafür
> Fehler anstreichen, mindestens zwei.
>
> Grüße
> reverend
>
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