zeige existenz von n: n<=x<n+1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 02.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | zeige das gilt: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \exists [/mm] ! n [mm] \in \IZ [/mm] : n [mm] \le [/mm] x < (n+1) |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe versucht das über die Wohlordnung von Teilmengen aus [mm] \IZ [/mm] zu zeigen und die leeren Mengen durch die Archimedische Eigenschaft auszuschließen.
Leider komme ich auf keinen grünen Zweig, ich nehme zuerst x>=0 an und komme nicht soweit das ich dann x<0 wieder darauf zurückführen kann...
Die Tatsache das es so ist das jede reele zahl nur eine nächst kleinere ganze zahl haben kann ist mir logisch aber das zu zeigen fällt mir schwer
Bin für jeden Tipp dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zeige das gilt: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR \exists[/mm] ! n [mm]\in \IZ[/mm] : n
> [mm]\le[/mm] x < (n+1)
kennst Du die Gaußklammer?
Also [mm] $[x]:=\sup\{z \in \IZ: z \le x\}\,.$ [/mm] Ich schreibe hier extra [mm] $\sup\,,$ [/mm] weil es meiner Meinung nach wohl Teil Deiner Aufgabe ist, auch nachzuweisen, dass dieses Supremum ein Maximum ist!
Und dass dann [mm] $n:=[x]\,$ [/mm] erfüllt $n [mm] \le [/mm] x < n+1:$
Per Definitionem ist dann $n [mm] \le [/mm] x$ klar. Überlege Dir dann, dass, wenn $n+1 [mm] \le [/mm] x$ wäre, dann aber auch $[x] [mm] \ge [/mm] n+1$ folgte... Wieso ist das ein Widerspruch? (Beachte [mm] $[x]=n\,.$)
[/mm]
P.S.
Damit ist erstmal die Existenz solcher zu $x [mm] \in \IR$ [/mm] passenden [mm] $n=n(x)\,$ [/mm] gezeigt. Das [mm] $!\,$ [/mm] in der Aufgabenformulierung besagt, dass Du auch noch die Eindeutigkeit zeigen musst!
P.P.S.
Bei der Eindeutigkeit: Mach' etwa den Ansatz: Sei $m=n+r$ - dabei $n:=[x] [mm] \in \IZ$ [/mm] - mit einem $r [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass sowohl $n [mm] \le [/mm] x < n+1$ als auch $m [mm] \le [/mm] x < m+1$ gilt... Zeige, dass dann [mm] $r=0\,$ [/mm] folgt.
Tipp:
Du kannst dann die beiden Ungleichungen
[mm] $$\text{I)}\;\;\;n \le [/mm] x < [mm] n+1\,,$$
[/mm]
[mm] $$\text{II)}\;\;\;-n-1 [/mm] < r-x [mm] \le [/mm] -n$$
addieren...
Gruß,
Marcel
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