zshg topol. Raum Bild stetig? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gelesen.
Sei X ein zusammenhängender topologischer Raum.
Beweise oder widerlege: f: X [mm] \to [/mm] R, f(x) = {0,1}= Im(f) ist stetig.
Ich weiß, was zusammenhängend ( ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen) bedeutet, aber wie wende ich das denn hier an?
Könnt ihr mir evtl. nen ansatz geben?
Grüße Tanzmaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei X ein zusammenhängender topologischer Raum.
> Beweise oder widerlege: f: X [mm]\to[/mm] R, f(x) = {0,1}= Im(f)
> ist stetig.
Was soll das bedeuten, " f(x) = {0,1}= Im(f) ist stetig"? Was ist R?
Gruß, Robert
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Also ich gehe davon aus, dass R = [mm] \IR [/mm] sein soll.
Und f(x) = {0,1} = Im(f) und ich soll beweisen, ob das stetig ist.
Keine Ahnung, was das genau bedeuten soll. Ich weiß es selber nicht, drum hab ich auch keine Ahnung, wie ich da rangehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich nehme die Frage ist, ob es eine stetige Abbildung [mm] $f:X\to\IR$ [/mm] gibt mit mit [mm] $f(X)=\operatorname{im} f=\{0,1\}$.
[/mm]
Jetzt überleg mal: Kann eine stetige Abbildung einen zusammenhängenden topologischen Raum auf einen nicht-zusammenhängenden abbilden?
Gruß, Robert
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Also ich kann mir nicht vorstellen, dass eine stetige Abbildung einen zushgd. topologischen Raum auf einen nicht zushgd. abbilden kann.
Aber wie beweist man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Also ich kann mir nicht vorstellen, dass eine stetige
> Abbildung einen zushgd. topologischen Raum auf einen nicht
> zushgd. abbilden kann.
> Aber wie beweist man das?
Kennst du die topologische Definiton der Stetigkeit? Ich meine die mit "... Urbilder offener Mengen sind offen...".
Führe damit einen Widerspruchsbeweis. Also nimm an, dass es eine stetige Funktion gibt, die einen zusammenhängenden Raum auf einen nicht zusammenhängenden Raum abbildet.
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