zur Linearen Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]f : V \to W[/mm] eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen und [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] eine Familie von Vektoren aus V.
Zeige:
(i): Ist f injektiv und [mm] (v_{j})_{j \in J}[/mm] linear unabhängig, so ist die Familie [mm](f(v_{j}))_{j \in J}[/mm] linear unabhängig.
(ii): Ist die Familie [mm](f(v_{j}))_{j \in J}[/mm] linear unabhängig, so ist die Familie [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] linear unabhängig. |
Mein Lösungsversuch war nun:
Gegeben:
[mm]f: V \to W[/mm] ist lineare Abbildung, also [mm] f(0) = 0[/mm].
[mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] ist linear unabhängig, d.h. [mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j[/mm] nur dann, wenn [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0[/mm]
Zu (i):
da f(x) linear gilt: f(x) = mx
da f(x) injektiv ist, gilt: [mm]m \not= 0[/mm]
Also:
[mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j) = \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j * m = m * \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j[/mm]
Hier benutze ich nun Satz d. Nullprodukts: [mm]m \not= 0[/mm], aber [mm]\summe_{j \in J}\lambda_j * v_j = 0[/mm], wegen der linearen Unabhängigkeit. Also ist das wahr und [mm]\summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j)[/mm] muss auch linear unabhängig sein.
Zu (ii):
Dort ist gegeben: [mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j)[/mm]
Dann forme ich das wieder um in
[mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j) = \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j * m = m* \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j[/mm]
Da [mm] m \not= 0[/mm] und die Gleichung aber trotzdem gelten muss, muss [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] linear unabhängig sein (Satz d. Nullprodukts).
Sind die 2 Lösungswege richtig? Bin mir da nicht so wirklich sicher, weil ich irgendwie 2 mal genau das gleiche als Lösung hingeschrieben habe? Welche der Lösungen ist dann falsch und warum?
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]f : V \to W[/mm] eine lineare Abbildung zwischen
> K-Vektorräumen und [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] eine Familie von
> Vektoren aus V.
>
> Zeige:
> (i): Ist f injektiv und [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] linear
> unabhängig, so ist die Familie [mm](f(v_{j}))_{j \in J}[/mm] linear
> unabhängig.
> (ii): Ist die Familie [mm](f(v_{j}))_{j \in J}[/mm] linear
> unabhängig, so ist die Familie [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] linear
> unabhängig.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Mein Lösungsversuch war nun:
> Gegeben:
> [mm]f: V \to W[/mm] ist lineare Abbildung,also [mm]f(0) = 0[/mm].
>
> [mm](v_{j})_{j \in J}[/mm] ist linear unabhängig, d.h. [mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * v_j[/mm]
> nur dann, wenn [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0[/mm]
>
> Zu (i):
> da f(x) linear gilt: f(x) = mx
Was soll m sein? Ein Element aus K?
Es stimmt nicht, daß im Falle der Linearität jedes Element auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird. das kann ja schon deshalb nicht sein, weil ja W ein völlig andere Vektorraum als V sein kann, in welchem x gar nicht drin ist.
Aber selbst, wenn V=W stimmt das i.a. nicht.
Was hast Du Dir dabei gedacht? Vielleicht kann man das klären.
> da f(x) injektiv ist, gilt: [mm]m \not= 0[/mm]
???
Wie ist Inkjektivität definiert, und woran erkennt man Injektivität bei linearen Funktionen? (Kern)
>
> Also:
> [mm]0 = [mm] \summe_{j \in J}\lambda_j [/mm] * [mm] f(v_j) [/mm]
Hieraus mußt Du nun folgrn, daß die [mm] \lambda_i [/mm] alle =0 sind.
Nutze die Linearität und Injektivität von f.
> Zu (ii):
> Dort ist gegeben: [mm]0 = \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j)[/mm].
Nein. Es ist gegeben, daß daraus [mm] \lambda_j [/mm] =0 folgt für alle j.
Vielleicht versuchst Du#s jetzt mal mit neuen Erkenntnissen, oder wir machen es, wenn der andere Teil steht.
Gruß v. Angela
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Hallo, danke erstmal für die Antwort, ich konnte leider erst jetzt wieder schrieben, da mein Internet nicht so wollte wie ich. Jetzt funktioniert es aber wieder.
> .
Danke :)
> Was soll m sein? Ein Element aus K?
>
> Es stimmt nicht, daß im Falle der Linearität jedes Element
> auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird. das kann ja
> schon deshalb nicht sein, weil ja W ein völlig andere
> Vektorraum als V sein kann, in welchem x gar nicht drin
> ist.
>
> Aber selbst, wenn V=W stimmt das i.a. nicht.
>
> Was hast Du Dir dabei gedacht? Vielleicht kann man das
> klären.
>
> > da f(x) injektiv ist, gilt: [mm]m \not= 0[/mm]
>
> ???
Ja.... also das war etwas doof... ich wusste die Eigenschaften für Lineare Funktionen nicht mehr und in Wikipedia stand, dass Funktionen aus [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm], mit der Form f(x) = m*x+r affin heißen und für den spzialfall r=0 das ganze linear heißt.
Das gilt aber nur für Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]?
Wenn bei diesem Fall m = 0 wäre, dann wären ja alle Funktionswerte 0, weshalb die Funktion nicht mehr injektiv sein könnte.... aber der Ansatz war ja eh total falsch?
So nun ein weiterer Versuch von mir für (i)... (ii) lasse ich erstmal, bis ich weiß, dass Teil 1 richtig ist.
Gegeben ist also: f injektiv und [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] ist linear unabhängig.
Zu zeigen: [mm](f(v_j))_{j \in J}[/mm] ist dann linear unabhängig.
Nun:
Weil [mm] (v_j)_{j \in J} [/mm] linear unabhängig ist, gilt:
[mm]\summe_{j \in J}\lambda_j * v_j = 0 \gdw \lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0 [/mm]
Wenn [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0[/mm]
[mm]
f(\summe_{j \in J}\lambda_j * v_j)
= f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 + ... + \lambda_j * v_j)
= f(\lambda_1 * v_1) + f(\lambda_2 * v_2) + ... + f(\lambda_j * v_j)
= \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 *f(v_2) + ... + \lambda_j * f(v_j)
= \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j)
[/mm]
Nun ist [mm]f(v_j)[/mm] aber eigentlich nie 0, weil f injektiv und nur 0 auf die 0 abgebildet wird. Da die Funktion injektiv und linear ist.
Deshalb der letzte Ausdruck nach den Umformungen nur genau dann 0, wenn [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = .... = 0[/mm] ist.
Stimmt das ganze so, oder darf man das leider so auch nicht machen?
Würde mich wieder auf Antwort freuen.
Mfg,
Christoph
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> Ja.... also das war etwas doof... ich wusste die
> Eigenschaften für Lineare Funktionen nicht mehr und in
> Wikipedia stand, dass Funktionen aus [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm], mit der
> Form f(x) = m*x+r affin heißen und für den spzialfall r=0
> das ganze linear heißt.
>
> Das gilt aber nur für Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]?
Hallo,
ja.
Oh weh! Ich sehe in Deinem Profil, daß Du Mathematik studierst.
Du MUSST wissen, was eine lineare Funktion ist, ebenso wie lineare Unabhängigkeit - sonst kannst Du einpacken.
> So nun ein weiterer Versuch von mir für (i)... (ii) lasse
> ich erstmal, bis ich weiß, dass Teil 1 richtig ist.
>
> Gegeben ist also: f injektiv und [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] ist linear
> unabhängig.
> Zu zeigen: [mm](f(v_j))_{j \in J}[/mm] ist dann linear unabhängig.
>
> Nun:
> Weil [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] linear unabhängig ist, gilt:
> [mm]\summe_{j \in J}\lambda_j * v_j = 0 \gdw \lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0[/mm]
Ja.
Und nun mußt Du zeigen, daß aus [mm] \summe_{j \in J}\lambda_j [/mm] * [mm] f(v_j)=0 [/mm] folgt [mm] \lambda_j=0. [/mm] (Das ist ja die lineare Unabhängigkeit)
Die richtigen Rechnungen als solche, nämlich Umformen unter Verwendung der Linearität, führst Du durch, ob Dir die Schlüsse richtig klar sind, weiß ich nicht.
Sei
[mm] \summe_{j \in J}\lambda_j [/mm] * [mm] f(v_j)=0
[/mm]
==>
>
> [mm]f(\summe_{j \in J}\lambda_j * v_j)
= f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 + ... + \lambda_j * v_j)
= f(\lambda_1 * v_1) + f(\lambda_2 * v_2) + ... + f(\lambda_j * v_j)
= \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 *f(v_2) + ... + \lambda_j * f(v_j)
= \summe_{j \in J}\lambda_j * f(v_j)=0
[/mm]
Wegen der Injektivität folgt hieraus [mm] \summe_{j \in J}\lambda_j [/mm] * [mm] v_j=0, [/mm] woraus nun wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] folgt [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Nun ist [mm]f(v_j)[/mm] aber eigentlich nie 0, weil f injektiv und
> nur 0 auf die 0 abgebildet wird. Da die Funktion injektiv
> und linear ist.
> Deshalb der letzte Ausdruck nach den Umformungen nur genau
> dann 0, wenn [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = .... = 0[/mm] ist.
>
> Stimmt das ganze so, oder darf man das leider so auch nicht
> machen?
> Würde mich wieder auf Antwort freuen.
>
> Mfg,
> Christoph
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Hallo,
> Oh weh! Ich sehe in Deinem Profil, daß Du Mathematik
> studierst.
> Du MUSST wissen, was eine lineare Funktion ist, ebenso wie
> lineare Unabhängigkeit - sonst kannst Du einpacken.
Ja... also lineare Unabhängigkeit ist mir glaube ich klar, was ich darunter zu verstehen habe. Bei linearen Funktionen habe ich glaube ich das Problem, dass ich immer noch so ne Gerade wie z.B. hier: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Lineare_Funktion.PNG&filetimestamp=20031017013725 im Kopf habe. Von dieser Vorstellung sollte ich mich trennen?
Muss zugeben, hab in LA auch etwas geschlafen, aber noch hab ich ja ein paar Wochen die Sachen, die ich versäumt habe nachzulernen.
Aufgabe (ii) funktioniert ja dann relativ analog?
Gegeben: [mm](f(v_j))_{j \ in J}[/mm] ist linear unabhängig
Zu zeigen: [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] soll linear unabhängig sein.
Da die Funktion linear ist kann man folgende Umformungen machen:
[mm]
\summe_{j \ in J}\lambda_j * f(v_j) = \summe_{j \ in J}f(\lambda_j * v_j) = f(\summe_{j \ in J}\lambda_j*v_j) = 0
[/mm]
Wegen der Linearität ist [mm]\summe_{j \ in J}\lambda_j * v_j = 0[/mm] und wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm]\summe_{j \ in J}\lambda_j * f(v_j)[/mm] sind die ganzen Lambdas = 0.
Das müsste so stimmen?
Mfg,
Christoph
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> Von dieser Vorstellung sollte ich mich
> trennen?
Hallo,
ja, das ist zu eindimensional.
> Aufgabe (ii) funktioniert ja dann relativ analog?
>
> Gegeben: [mm](f(v_j))_{j \ in J}[/mm] ist linear unabhängig
> Zu zeigen: [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] soll linear unabhängig sein.
Hierzu mußt Du vorrechnen, wie aus
[mm] \summe\lambda_jv_j=0 [/mm] folgt, daß die [mm] \lambda_j [/mm] alle =0 sind.
Sei [mm] \summe\lambda_jv_j=0 [/mm]
==> Wende jetzt die Funktion f hierauf an, verwende die Linearität.
Am Ende hast Du dastehen $ [mm] \summe_{j \ in J}\lambda_j \cdot{} f(v_j) [/mm] = 0 $.
Schließes hieraus, daß die [mm] \lambda_j=0 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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