zusammenges. Trägheitsmoment < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zwei Eisenstangen mit gleichen Abmessungen (quadratischer Querschnitt mit der Kantenlänge a=0,06m und der Länge l=0,8 m) und unterschiedlicher Dichte (Stange1 rho1=7800 kg/m³ und Stange 2 rho2=7900kg/m³) sollen zu einer Stange der Länge 2*l miteinander verschweißt werden.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Stange! Wie groß ist das Massenträgheitsmoment dieser Stange, wenn sie um ein Ende rotiert?
Lösung: xs= 0,8025m (wenn Stab mit rho1=x=0 beginnt)
J=1/3*a²*l³(rho1+7*rho2) |
Ich habe das Gleichgewicht korrekt berechnet. Nun frage ich mich, wie ich das Massenträgheitsmoment von zusammengesetzten Körpern berechne.
Gelesen habe ich, dass man einfach beide Teile bezogen auf die gleiche Achse unabhängig betracht und die Momente addiere. Allerdings komme ich da auf einen wesentlich geringeren Wert als den, den ich bekommen, wenn ich die Wert in die Formel einsetze. (=310,143)
Wirklich vielen, vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zwei Eisenstangen mit gleichen Abmessungen (quadratischer
> Querschnitt mit der Kantenlänge a=0,06m und der Länge l=0,8
> m) und unterschiedlicher Dichte (Stange1 rho1=7800 kg/m³
> und Stange 2 rho2=7900kg/m³) sollen zu einer Stange der
> Länge 2*l miteinander verschweißt werden.
>
> Ermitteln Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Stange!
> Wie groß ist das Massenträgheitsmoment dieser Stange, wenn
> sie um ein Ende rotiert?
>
> Lösung: xs= 0,8025m (wenn Stab mit rho1=x=0 beginnt)
> J=1/3*a²*l³(rho1+7*rho2)
> Ich habe das Gleichgewicht korrekt berechnet. Nun frage
> ich mich, wie ich das Massenträgheitsmoment von
> zusammengesetzten Körpern berechne.
>
> Gelesen habe ich, dass man einfach beide Teile bezogen auf
> die gleiche Achse unabhängig betracht und die Momente
> addiere. Allerdings komme ich da auf einen wesentlich
> geringeren Wert als den, den ich bekommen, wenn ich die
> Wert in die Formel einsetze. (=310,143)
Bedenke, dass du den Satz von Steiner anwenden musst, wenn die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt geht.
Da l sehr viel größer als a ist, ist das Massenträgheitsmoment einer der Stangen bei Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt, aber senkrecht zur Längsausdehnung:
[mm] J = \bruch{1}{12} m l^2 = \bruch{1}{12} \rho a^2 l^3 [/mm].
Jetzt bestimmst du den Abstand des jeweiligen Schwerpunkts von der Drehachse und wendest für jede Stange einzeln den Satz von Steiner ab.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ah ok, es ist schon ziemlich spät und mein Kopf explodiert gleich, aber das probiere ich jetzt noch zu verstehen:
Also Jgesamt=J1+J2
J1=(1/12)*0,8²+22,464*0,4025
=Trägheitsmoment des 1. Körpers + Masse1*Abstand des Trägheitmoments zwischen der gesamten Schwerpunktachse und der von Masse1
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ah ok, es ist schon ziemlich spät und mein Kopf explodiert
> gleich, aber das probiere ich jetzt noch zu verstehen:
>
> Also Jgesamt=J1+J2
>
> J1=(1/12)*0,8²+22,464*0,4025
> =Trägheitsmoment des 1. Körpers + Masse1*Abstand des
> Trägheitmoments zwischen der gesamten Schwerpunktachse und
> der von Masse1
Das ist nicht das Trägheitsmoment, du hast im ersten Summanden die Masse vergessen und im zweiten das Quadrat.
Lass doch die Formeln stehen und setze keine Zahlen ein, da verstehst du überhaupt nicht, was du rechnest. Außerdem kannst du dein Ergebnis nicht mit dem angegebenen vergleichen.
Der Stab (aus den zwei Teilstäben) dreht sich um sein Ende. Der Schwerpunkt des 1. Teilstabes (Masse [mm]m_1[/mm]) hat den Abstand l/2 von der Drehachse, also ist das Trägheitsmoment laut Satz von Steiner:
[mm] J_1 = \bruch{1}{12} m_1 l^2 + m_1\left(\bruch{l}{2}\right)^2 = \bruch{1}{3}m_1 l^2[/mm].
Das Gleiche machst du für den zweiten Teilstab (welches ist der Abstand seines Schwerpunkts von der Drehachse?)
Dann ersetzt du noch die Massen und hast sofort die als Lösung angegebene Formel.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Sorry, dass ich erst jetzt reagiere, aber die Aufgabe hatte mich so genervt, dass ich sie jetzt erst als Letztes abhandle.
Also, da (m1/12)*l nur für den Schwerpunkt gilt, kann ich mit dem Satz von Steiner ihn sozusagen verschieben, sodass er für diesen Punkt seine Gültigkeit hat.
Somit: J1=(m1/12)*l+m1*s²=(22,464/12)*0,8+22,464*0,4²=5,09kgm²
J2=(m2/12)*l+m2*s²=(22,752/12)*0,8+22,752*1,2²=32,76kgm²
Mit l ist doch die Länge des betrachteten Körpers gemeint und mit s der Abstand des Schwerpunkts des betrachteten Körpers zur Drehachse?
Soweit richtig?
Danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Es ist fast richtig. Schau dir mal die Einheiten an, dann wirst du feststellen, daß du was vergessen hast. Das l in den beiden Gleichungen mußt du nämlich ebenfalls quadrieren.
Eine Sache noch: Schau dir nochmal Rainers letzten Beitrag an. Er hat dir mit der letzten Formel gezeigt, wie man den Satz von Steiner, der ja aus zwei Summanden besteht, zusammenfasst. Das ergibt eine eigentlich recht kurze Formel für das Trägheitsmoment. Die ist doch ein paar Ecken übersichtlicher als vorher, vor allem, da du eigentlich nur noch zwei Werte einsetzen mußt. Die Fehleranfälligkeit beim Ausrechnen verringert sich dadurch ein ganzes Stück.
|
|
|
| |
|
Oops, stimmt das Quadrat habe ich übersehen.
Also J1=1/3*m1*l²=1/3*22,464kg*(0.8m)²=4,79kgm²
J2=1/12*m2*(2l)²+m2*s=1/12*22,752kg*2,56m+22,752kg*1,44m²=37,62kgm²
Jges=J1+J2=42,41kgm²
geringfügig falsch (müsste 38,77kgm² rauskommen, falls ich richtig gerechnet habe), da werde ich nochmal durchrechnen.
Vielen Dank schon mal, ihr seid die Besten! :P
|
|
|
| |
|
Hat sich alles erledigt! Besten Dank!
|
|
|
|
