www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - zusammengesetzte Poissonvtlg.
zusammengesetzte Poissonvtlg. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

zusammengesetzte Poissonvtlg.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Di 14.07.2009
Autor: AndyK

Aufgabe
Die unabhängigen Zufallsgrößen [mm] $N_1, [/mm] ..., [mm] N_n$ [/mm] seien Poissonverteilt mit den Parametern [mm] $\lambda_1, ...,\lambda_n$; [/mm] gegeben seien ferner [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n \in \IR_+$. [/mm] Man zeige, dass dann [mm] $\sum_{i=1}^{n}x_i N_i$ [/mm] eine zusammengesetzte Poissonverteilung besitzt.

Hallo zusammen,
die Aufgabe ist soweit klar. Leider komme ich da aber irgendwie nicht sehr weit. Meine Ideen waren zuerst, das ganze einfach mit [mm] $P(\sum_{i=1}^{n}x_i N_i [/mm] = k)$, für $k [mm] \in \IN$ [/mm] oder über charakteristische Funktionen auszurechnen. Allerdings wäre es für mich wohl hilfreicher, wenn ich erstmal wüsste, was denn eine "zusammengesetzte Poissonverteilung" ist. :-) Zu diesem Begriff liegt mir jedenfalls keine Definition vor. Die Poissonverteilung ist mir dagegen klar.
Gruß,
AndyK


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
zusammengesetzte Poissonvtlg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Di 14.07.2009
Autor: vivo

Hallo,

die Summe von poissonverteilten unabhängigen ZV's ist wieder poissonverteilt da die Poissonverteilung invariant gegenüber Faltung ist.

gruß

Bezug
        
Bezug
zusammengesetzte Poissonvtlg.: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Fr 17.07.2009
Autor: AndyK

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Damit nachfolgende Generationen eine Hilfestellung haben, werde ich hier mal die Lösung zu der Aufgabe und meine Frage erläutern:

Zur zusammengesetzten Poissonverteilung:

Zu einer Folge von rellen ZV $(X_i)$, die unabhängig und identisch Verteilt sind (also IID bzw UIV), und eine davon unabhängige ZV $N \sim \pi_\lambda$ (also poissonverteilt mit Parameter $\lambda$) betrachtet man folgende Summe:

$\sum_{j=1}^{N} X_j$

Die Anzahl der Summanden wird also durch $N$ bestimmt.
Nun kann man die Verteilungsfunktion dieser Summe ausrechnen. Dabei sei angenommen, dass für die $X_i$ gilt: $X_i \sim \mu$, mit irgendeiner Verteilung $\mu$:

Sei $x \in \IR:$
$P(\sum_{j=1}^{N} X_j \le x) = P(\bigcup_{n \in \IN_0}^{\bullet} \{ N = n, \sum_{j=1}^{n} X_j \le x) = \sum_{n \in \IN_0} e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} \mu^{\ast n}((-\infty, x])$

wobei $\mu^{\ast n}$ die $n$-fache Faltung von $\mu$ bezeichnet.

Beispiel: Im Falle $\mu = \varepsilon_1$ ist dies, wegen \varepsilon_a \ast \varepsilon_b = \varepsilon_{a+b}$, gerade $\pi_\lambda$.

Berechnet man nun die charakteristische Funktion, so erhält man:

$\varphi(s) = exp( -\lambda (1-\varphi_\mu(s)))$

Beispiel: Im Falle $\mu = \varepsilon_1$ erhält man, wegen $\varphi_\varepsilon_1(s) = e^{is}$, die charakteristische Funktion der Poissonverteilung $\pi_\lambda$, also $exp( -\lambda (1-e^{is}))$


Lösung der Aufgabe:

Durch Berechnung der charakteristischen Funktion von $\sum_{j=1}^{n}x_j N_j$ erhält man:

$\varphi_{\sum_{j=1}^{n}x_j N_j}(s) = exp(-\sum_{j=1}^{n} \lambda_j (1-e^{isx_j})) = exp(-\lambda (1-\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} e^{isx_j})) $

wobei

$ \sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} e^{isx_j} $ die charakteristische Funktion des W-Maßes $\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} \varepsilon_{x_j} $ ist.

Also besitzt die in der Aufgabe genannte Summe eine zusammengesetzte Poissonverteilung.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de