zwei Atlanten verschieden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe hier eine Aussage in meinem Skript zu Mannigfaltigkeiten, die ich gerade nicht verstehe. Also ich weiß nicht warum das so ist und wie man es zeigen könnte.
Hier steht: "Auf [mm] \IR [/mm] bestimmt auch der Atlas {(x [mm] \mapsto x^3, \IR [/mm] )} eine differenzierbare Struktur. Diese ist von {(x [mm] \mapsto [/mm] x, [mm] \IR [/mm] )} verschieden."
Das wird hier als Beispiel angeführt.
Wäre schön, wenn jemand helfen könnte.
Vielen Dank und Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mi 05.03.2014 | | Autor: | hippias |
Sage doch einmal, wie ihr Atlas und differenzierbare Struktur definiert habt. Damit wird sich die Aussage verstehen lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Do 06.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
wir hatten die differenzierbare Struktur wie folgt definiert:
Eine differenzierbare Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit (M, [mm] \tau [/mm] ) ist ein maximaler Atlas von verträglichen Karten auf (M, [mm] \tau [/mm] ).
Definition [mm] c^k [/mm] Atlas:
Unter einem [mm] c^k [/mm] -Atlas auf einem toplogischem Raum (M, [mm] \tau [/mm] ) verstehen wir eine Familie [mm] \mathcal{A} [/mm] von Karten derart, dass
1.) Für alle m [mm] \in [/mm] M ein (x,U) [mm] \in \mathcal{A} [/mm] existiert mit m [mm] \in [/mm] U
2.) Je zwei Elemente von [mm] \mathbb{A} [/mm] sind [mm] C^k [/mm] - verträglich.
Wir hatten uns in der Vorlesung dann auch noch darauf geeinigt, dass wir, wenn k gleich unendlich ist, einfach Atlas schreiben.
Viele Grüße und danke schonmal für dein Interesse mir zu helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Fr 07.03.2014 | | Autor: | hippias |
Also zu zeigen, dass die beiden differenzierbaren Strukturen verschieden sind, heisst, dass die entsprechenden maximalen Atlanten verschieden sind. Man muesste also eine Karte finden, die z.B. mit [mm] $(\IR, x\mapsto x^{3})$ [/mm] vertraeglich ist, aber nicht mit [mm] $(\IR, x\mapsto [/mm] x)$ (oder umgekehrt?).
Und ehe man sich muehsam vertraegliche Karten konstruiert, pruefe doch zu allererst, ob ueberhaupt die Karte [mm] $(\IR, x\mapsto x^{3})$ [/mm] mit [mm] $(\IR, x\mapsto [/mm] x)$ vertraeglich ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Hi,
danke, das Licht wird schonmal heller. Also reicht es wenn ich die beiden Karten direkt auf verträglichkeit überprüfe und wenn sie es nicht sind, dann sind es verschiedene differenzierbare strukturen.
Hier nun mein erster Versuch zur Überprüfung ob zwei Karten verträglich sind.
Laut Definition der Verträglichkeit muss ich überprüfen, dass y [mm] \circ x^{-1} [/mm] und x [mm] \circ y^{-1} [/mm] stetig differenzierbar sind.
für die erste Abildung bekomme ich, dass y [mm] \circ x^{-1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{y} [/mm] und für die zweite x [mm] \circ y^{-1} [/mm] = [mm] x^3
[/mm]
Stimmt das? wenn das stimmen würde, dann sehe ich nicht, wieso sie nicht verträglich sein sollten, da ja beide stetig diffbar sind.
Irgendwas läuft da noch nicht ganz rund, denke ich.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 12.03.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
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> danke, das Licht wird schonmal heller. Also reicht es wenn
> ich die beiden Karten direkt auf verträglichkeit
> überprüfe und wenn sie es nicht sind, dann sind es
> verschiedene differenzierbare strukturen.
>
> Hier nun mein erster Versuch zur Überprüfung ob zwei
> Karten verträglich sind.
> Laut Definition der Verträglichkeit muss ich überprüfen,
> dass y [mm]\circ x^{-1}[/mm] und x [mm]\circ y^{-1}[/mm] stetig
> differenzierbar sind.
> für die erste Abildung bekomme ich, dass [mm]y \circ x^{-1} = \wurzel[3]{y}[/mm] und für die zweite x [mm]\circ y^{-1}[/mm] = [mm]x^3[/mm]
> Stimmt das? wenn das stimmen würde, dann sehe ich nicht,
> wieso sie nicht verträglich sein sollten, da ja beide
> stetig diffbar sind.
[mm]y \circ x^{-1} = \wurzel[3]{y}[/mm] ist im Ursprung nicht stetig diff'bar.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Mi 12.03.2014 | | Autor: | Kueken |
Ach ich dummchen... ja klar :D
Danke dir, ich stand grad voll aufm schlauch... die ableitung davon ist im ursprung ja gar nicht definiert und der grenzwert existiert nich...
*freu* verstanden :)
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