zwei Metriken < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie, daß die Metriken
[mm] $d(x,y)=\vert x-y\vert$ [/mm] und [mm] $d'(x,y)=\left\vert \frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{y}{1+\vert y\vert}\right\vert$
[/mm]
auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ dieselbe Topologie erzeugen. |
Hallo, ich glaube, das ist nicht so schwer:
Also die Metrik d ist doch die euklidische Metrik auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ und diese induziert auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ doch die natürliche Topologie, also
[mm] $\mathcal{O}_d=\left\{U\subseteq \mathbb R~|~\text{U offen bzgl. d}\right\}$
[/mm]
In [mm] $\mathcal{O}_d$ [/mm] sind also alle Teilmengen $U$ von [mm] $\mathbb [/mm] R$, für die gilt:
[mm] $U~\text{offen}~\Leftrightarrow~\forall~x\in U~\exists~\varepsilon\in\mathbb R_{>0}: \left\{y\in\mathbb R~|~d(x,y)=\vert x-y\vert\leq \vert x\vert + \vert y\vert < \varepsilon\right\}\subseteq [/mm] U$.
Genauer ließe sich noch sagen:
[mm] $\mathcal{O}_d=\left\{U\subseteq\mathbb R~|~\text{U ist Vereinigung von Intervallen der Form}~(a,b),a,b\in\mathbb R,a\leq b\right\}$, [/mm] aber das braucht man hier eigentlich gar nicht.
Entscheidend ist:
[mm] $\mathcal{O}_{d'}=\left\{V\subseteq\mathbb R~|~\text{V offen bzgl. d'}\right\}$, [/mm] d.h. hier sind alle Teilmengen $V$ von [mm] $\mathbb [/mm] R$ enthalten, für die gilt:
[mm] $\text{V offen}~\Leftrightarrow~\forall z\in V~\exists~\delta\in\mathbb R_{>0}: \left\{w\in\mathbb R~|~d'(z,w)=\left\vert \frac{z}{1+\vert z\vert}-\frac{w}{1+\vert w\vert}\right\vert\leq \left\vert \frac{z}{1+\vert z\vert}\right\vert + \left\vert\frac{w}{1+\vert w\vert}\right\vert\leq\vert z\vert + \vert w\vert<\delta\right\}\subseteq [/mm] V$
Daran sieht man, daß [mm] $\mathcal{O}_d=\mathcal{O}_{d'}$, [/mm] denn sei [mm] $U\in\mathcal{O}_d$, [/mm] dann ist auch [mm] $U\in\mathcal{O}_{d'}, [/mm] indem man einfach [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] setzt.
(Und umgekehrt genauso.)
Ist das so in Ordnung bewiesen?
Grüße
mikexx
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich hatte vergessen bei der Offenheit
[mm] $\subseteq [/mm] U$ bzw. [mm] $\subseteq [/mm] V$ zu schreiben, sorry.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe mal gerade sporadisch drübergeguckt. Warum tust Du so, als wenn Du in der Definition der offenen Mengen "die Dreiecksungleichung" mitbenutzen könntest?
Per Definitionem ist $U [mm] \subseteq \IR\,$ [/mm] offen bzgl. der vom Betrage her induzierten Metrik d, wenn gilt:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] U$ existiert ein [mm] $\epsilon=\epsilon_x [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $$U_\epsilon(x):=\{y \in \IR: d(x,y)=|x-y| < \epsilon\} \subseteq U\,.$$
[/mm]
Für [mm] $\Delta_\epsilon(x):=\{y \in \IR: |x|+|y| < \epsilon\}$ [/mm] gilt zwar sicher
[mm] $$\Delta_\epsilon(x) \subseteq U_{\epsilon}(x)\,,$$
[/mm]
denn es gilt ja $|x-y| [mm] \le [/mm] |x|+|y| < [mm] \epsilon$ [/mm] für $y [mm] \in \Delta_\epsilon(x)\,,$ [/mm] aber [mm] $U_\epsilon(x) \subseteq \Delta_\epsilon(x)$ [/mm] gilt i.a. nicht:
Für [mm] $\epsilon=3/4$ [/mm] und [mm] $x:=1\,,$ [/mm] $y:=1/2$ ist
$$|x-y|=1/2 < [mm] \epsilon=3/4\,,$$
[/mm]
aber
$$|x|+|y|=1+1/2=3/2 [mm] \not< 3/4=\epsilon\,.$$
[/mm]
Von daher verstehe ich Deine Argumente nicht (vielleicht kannst Du das noch retten, das weiß ich nicht).
Ich denke, was man hier erstmal zeigen kann, ist, dass jede offene Kugel bzgl. d sowohl eine bzgl. d' enthält, als auch in einer bzgl. d' enthalten ist. Ich denke, dass das ein gutes Standardverfahren ist:
Siehe etwa auch ![[]](/images/popup.gif) Satz 2.24 hier.
Stichwort für das ganze: Äquivalente Metriken! (Danach kannst Du auch gerne mal googlen). Schön ist dabei, dass äquivalente Metriken "auch die gleichen Cauchyfolgen haben" - etwas, was man immer wieder bei vollständigen Räumen (etwa Banachräumen) benutzen kann!
Also:
Anstatt das von mir gesagte direkt zu zeigen, zeige erstmal, dass [mm] $d\,$ [/mm] und [mm] $d'\,$ [/mm] äquivalente Metriken sind!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:02 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, mir war nicht klar, daß ich die Dreiecksungleichung nicht verwenden kann.
Ich werde gerne auf Deine Tipps zurückkommen, aber ich habe glaube ich noch ein anderes "Verfahren" gefunden, wie man das zeigen kann (und was meinem Kenntnisstand vielleicht gerade mehr entspricht):
Ich soll ja zeigen, daß die Topologien identisch sind.
Und nun ist es ja so (sagt jedenfalls das Buch "Mengentheoretische Topologie", Boto von Querenburg), daß dies immer der Fall ist, wenn die identische Abbildung in beide Richtungen stetig ist.
Ich müsste also zeigen, daß
$id: [mm] (\mathbb R,d)\to (\mathbb [/mm] R, d')$ in beide Richtungen stetig ist.
Ist diese Abbildung als
$id: [mm] \mathbb R\to\mathbb [/mm] R$ zu verstehen?
Ich weiß noch leider nicht ,wie man die Stetigkeit bei topologischen Räumen definiert.
Ich glaube, ich muss zeigen, daß jede offene Menge in [mm] $\mathcal{O}_{d'}$ [/mm] auch in [mm] $\mathcal{O}_d$ [/mm] liegt. Und umgekehrt, also, daß jede offene Menge in [mm] $\mathcal{O}_d$ [/mm] auch in [mm] $\mathcal{O}_{d'}$ [/mm] liegt.
Dann müsste id beidseitg stetig sein?
Sei also [mm] $O\in\mathcal{O}_{d'}$.
[/mm]
Zeigen muss ich, daß [mm] $O\in\mathcal{O}_d$.
[/mm]
Nur... wie?
Vielleicht per Widerspruch?
Angenommen, [mm] $O\notin\mathcal{O}_d$.
[/mm]
Dann gibt's irgendeine Epsilonkugel um ein Element x in O, sodaß
[mm] $\left\{y\in\mathbb R~|~\vert x-y\vert <\varepsilon\right\}\not\subseteq [/mm] O$.
Kann man das jetzt irgendwie zum Widerspruch führen?
Ich seh's grad nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 01.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, mir war nicht klar, daß ich die Dreiecksungleichung
> nicht verwenden kann.
>
> Ich werde gerne auf Deine Tipps zurückkommen, aber ich
> habe glaube ich noch ein anderes "Verfahren" gefunden, wie
> man das zeigen kann (und was meinem Kenntnisstand
> vielleicht gerade mehr entspricht):
>
> Ich soll ja zeigen, daß die Topologien identisch sind.
>
> Und nun ist es ja so (sagt jedenfalls das Buch
> "Mengentheoretische Topologie", Boto von Querenburg), daß
> dies immer der Fall ist, wenn die identische Abbildung in
> beide Richtungen stetig ist.
>
> Ich müsste also zeigen, daß
>
> [mm]id: (\mathbb R,d)\to (\mathbb R, d')[/mm] in beide Richtungen
> stetig ist.
>
> Ist diese Abbildung als
>
> [mm]id: \mathbb R\to\mathbb R[/mm] zu verstehen?
ja, nur einmal betrachtest Du halt den Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $d\,$ [/mm] und den Zielbereich [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $d'\,$ [/mm] versehen, dann das andere Mal ("die andere Richtung der Identität") betrachtest Du den Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] mit $d'$ und den Zielbereich [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $d\,$ [/mm] versehen.
> Ich weiß noch leider nicht ,wie man die Stetigkeit bei
> topologischen Räumen definiert.
Eine Abbildung $f:X [mm] \to [/mm] Y$ zwischen topologischen Räumen [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] ist genau dann stetig auf ganz [mm] $X\,,$ [/mm] wenn Urbilder von [mm] $Y\,$-offener [/mm] Mengen offen in [mm] $X\,$ [/mm] sind (anders gesagt: Wenn das Urbild einer jeden Menge, die ein "Element der Topologie auf [mm] $Y\,$" [/mm] ist, ein "Element der Topologie auf [mm] $X\,$" [/mm] ist). Das könntest Du benutzen, aber das brauchst Du hier nicht, denn:
Beide Topologien sind doch jeweils die von der Metrik induzierte Topologie, und eine Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ zwischen metrischen Räumen $(X,d)$ und $(Y,e)$ ist stetig in $x [mm] \in X\,,$ [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,x} [/mm] > 0$ so gibt, dass
$$(y [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] d(x,y) < [mm] \delta) \Rightarrow [/mm] e(f(x),f(y)) < [mm] \epsilon\,,$$
[/mm]
und [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig auf ganz [mm] $X\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in allen $x [mm] \in [/mm] X$ ist. Diese "Stetigkeit per Definitionem über die Metrik" ist äquivalent zu der "Stetigkeit per Definitionem der über die Metrik induzierten Topologien". In diesem Sinne ist ja die "Topologische Definition der Stetigkeit" eine "Erweiterung des alten Begriffs 'Stetige Funktion zwischen metrischen Räumen'."
Was Du also zeigen musst:
1.) Sei $id: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] die Identität, also [mm] $id(x)=x\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Betrachten wir diese zunächst als Abbildung zwischen den obigen metrischen Räumen in folgender Richtung: [mm] $(\IR,d) \to (\IR,d')$:
[/mm]
Zu zeigen ist:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, so existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $d(x,y) < [mm] \delta$ [/mm] folgt
$$d'(id(x),id(y))=d'(x,y) < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Damit hast Du dann gezeigt, dass [mm] $id\,$ [/mm] als Abbildung [mm] $(\IR,d) \to (\IR,d')$ [/mm] stetig ist.
2.) Betrachten wir nun [mm] $id\,$ [/mm] als Abbildung zwischen den obigen metrischen Räumen in folgender Richtung: [mm] $(\IR,d') \to (\IR,d)$:
[/mm]
Zu zeigen ist nun:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, so existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\red{d'}(x,y) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt
[mm] $$\red{d}(id(x),id(y))=\red{d}(x,y) [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Damit hast Du dann gezeigt, dass [mm] $id\,$ [/mm] als Abbildung [mm] $(\IR,\red{d'}) \to (\IR,\red{d})$ [/mm] stetig ist.
Zur Deutlichkeit habe ich die Unterschiede rot hervorgehoben!
P.S.:
Muss leider jetzt los, daher kann ich erst evtl. später oder am WE nochmal reingucken! Vielleicht schaut ja auch sonst nochmal jemand über den Rest Deiner Frage drüber?!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 01.03.2012 | | Autor: | mikexx |
1. [mm] $d'(id(x),id(x_0))=d'(x,x_0)=\left\vert\frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{x_0}{1+\vert x_0\vert}\right\vert\leq\vert x-x_0\vert<\varepsilon=:\delta$
[/mm]
2. [mm] $d(id(x)id(x_0))=d(x,x_0)=\vert x-x_0\vert <\varepsilon=:\delta$
[/mm]
So korrekt?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. [mm]d'(id(x),id(x_0))=d'(x,x_0)=\left\vert\frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{x_0}{1+\vert x_0\vert}\right\vert\leq\vert x-x_0\vert<\varepsilon=:\delta[/mm]
>
> 2. [mm]d(id(x)id(x_0))=d(x,x_0)=\vert x-x_0\vert <\varepsilon=:\delta[/mm]
>
>
> So korrekt?
>
> LG
Du musst schon schreiben, was Du meinst oder machen willst. Bei 1.) kann man das ausformulieren, und dann wäre die Frage, ob oder wie Du die Ungleichung
[mm] $$\left\vert\frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{x_0}{1+\vert x_0\vert}\right\vert\leq\vert x-x_0\vert$$
[/mm]
begründest. So, wie Du es schreibst, es ist einfach nur eine unbewiesene Behauptung, die Du benutzen willst.
Bei 2.) weiß ich nicht, was Du da oder damit zeigst (zeigen willst). Spare mal nicht an Worten und schreibe das genau auf. Ich habe Dir ja geschrieben, was zu zeigen ist!
(Bei 2.) ist zu zeigen: Sind [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, so existiert ein [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,x_0} [/mm] > 0$ so, dass aus [mm] $d'(x,x_0)=|\;\;x/(1+|x|)\;-x_0/(1+|x_0|)\;\;\;| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] dann [mm] $d(x,x_0)=|x-x_0| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt. (Dabei stets [mm] $x_0 \in \IR$!)
[/mm]
Ich glaube aber nicht, dass [mm] $d(x,x_0) \le d'(x,x_0)$ [/mm] ist - wenn Du das benutzen willst, musst Du sowas natürlich auch beweisen!
P.S.:
Mach' Dir bitte unbedingt klar, dass in 2.) eben "die Abstandsberechnung im Definitionsbereich" eben nicht durch die "Standardmetrik auf [mm] $\IR$" [/mm] gegeben ist, sondern durch die [mm] $d'\,$-Metrik!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Fr 02.03.2012 | | Autor: | mikexx |
> Du musst schon schreiben, was Du meinst oder machen willst.
> Bei 1.) kann man das ausformulieren, und dann wäre die
> Frage, ob oder wie Du die Ungleichung
> [mm]\left\vert\frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{x_0}{1+\vert x_0\vert}\right\vert\leq\vert x-x_0\vert[/mm]
>
> begründest. So, wie Du es schreibst, es ist einfach nur
> eine unbewiesene Behauptung, die Du benutzen willst.
Ich weiß nicht, wie ich diese Abschätzung beweisen/ begründen kann.
Hast Du (oder jemand anders) einen Tipp?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du musst schon schreiben, was Du meinst oder machen willst.
> > Bei 1.) kann man das ausformulieren, und dann wäre die
> > Frage, ob oder wie Du die Ungleichung
> > [mm]\left\vert\frac{x}{1+\vert x\vert}-\frac{x_0}{1+\vert x_0\vert}\right\vert\leq\vert x-x_0\vert[/mm]
>
> >
> > begründest. So, wie Du es schreibst, es ist einfach nur
> > eine unbewiesene Behauptung, die Du benutzen willst.
>
> Ich weiß nicht, wie ich diese Abschätzung beweisen/
> begründen kann.
>
> Hast Du (oder jemand anders) einen Tipp?
ja:
es empfiehlt sich hier der MWS:
Betrachte die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f(x):=x/(1+|x|)\,.$ [/mm] Klar ist (durch nachrechnen unter Benutzung von Fallunterscheidungen / oder noch kürzer: [mm] $|x|'=\text{sign(x)}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$!)
[/mm]
[mm] $$f'(x)=\frac{1+|x|-x*\text{sign}(x)}{(1+|x|)^2} \text{ für }x \not=0$$
[/mm]
und man kann nachrechnen, dass [mm] $f'(0)\,$ [/mm] existiert mit [mm] $f'(0)=1\,.$
[/mm]
Damit zeige nun $|f'(x)| [mm] \le [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Wenn man das weiß, ist man fertig:
Für reelle [mm] $x,y\,$ [/mm] mit o.E. $y < x$ gilt nämlich, wenn man dann [mm] $f_{|[y,x]}$ [/mm] betrachtet:
Nach dem MWS existiert ein [mm] $\xi$ [/mm] mit
[mm] $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\xi)\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le |f'(\xi)|*|x-y|$$
[/mm]
und wegen [mm] $|f'(\xi)| \le [/mm] 1$ sodann
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le |x-y|\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$\left|\;\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}\;\right| \le |x-y|\,.$$
[/mm]
Damit Du das alles benutzen kannst, hast Du nun aber noch eine Aufgabe:
Zeige:
Für
[mm] $$f'(x)=\frac{1+|x|-x*\text{sign}(x)}{(1+|x|)^2}$$
[/mm]
(dies beinhaltet insbesondere [mm] $f'(0)=1\,,$ [/mm] was Du auch zeigen solltest - also die Existenz von [mm] $f'(0)\,$ [/mm] mit dem angegebenen Wert 1!)
gilt für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
$$|f'(x)| [mm] \le 1\,.$$
[/mm]
Tipp dazu:
Weil [mm] $f\,$ [/mm] ungerade ist, ist [mm] $f'\,$ [/mm] gerade. Nun kann man leicht einsehen, dass $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt. Danach begründe noch, dass [mm] $f'\,$ [/mm] etwa auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] (streng) monoton fällt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
