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Forum "Uni-Analysis" - zweite partielle Ableitung
zweite partielle Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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zweite partielle Ableitung: Kopfschmerzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Di 24.05.2005
Autor: baddi

Hi meine Aufgabe macht mir Kopfschmerzen.
Verzweifelt schaue ich ins Blatt und hoffe etwas falsch gelesen zu haben, aber nix da.

g(r,p):= f(r*cos*p,r*sin*p)

und sucht die zweite partill. Ableitung von g nach r.

Für die erste habe ich herrausbekommen:
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] g( r , p ) =
[mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x } [/mm] f(x, y) * cos p

Das hab ich mit der Kettenregel gemacht (hat mir jemand gesagt), ging eigentlich ganz einfach.

[mm] \bruch{ \partial^2 g }{ (\partial r)^2 } [/mm] g( r , p ) =
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm]  ( [mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] g( r , p )  ) =
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm]  ( [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x } [/mm] f(x, y) * cos p )

Ok, aber wie kann ich das ableiten ?
Ich hab da ja gar kein r mehr drin... oder doch?
Und wie ... äh... also ...  ich bin total verwirrt.

Das ganz Übungsblatt besteht aus solchen Aufgaben, ich verstehe Sie alle nicht.

Danke & Gruß von dem der Kopfschmerzen hat.

        
Bezug
zweite partielle Ableitung: Regel anwenden
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Di 24.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,

> g(r,p):= f(r*cos*p,r*sin*p)
>  
> und sucht die zweite partill. Ableitung von g nach r.
>  
> Für die erste habe ich herrausbekommen:
>  [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm] g( r , p ) =
>  [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x }[/mm] f(x, y) * cos p

das stimmt so aber nicht:

Für die partiellen Ableitungen von verketteten Funktionen gilt ja, wie Du schon erwähnt hast die Kettenregel:

[mm]\begin{gathered} \frac{{\delta g}} {{\delta r}}\; = \;\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}} \hfill \\ \frac{{\delta g}} {{\delta p}}\; = \;\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

> [mm]\bruch{ \partial^2 g }{ (\partial r)^2 }[/mm] g( r , p ) =
>  [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm]  ( [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm]
> g( r , p )  ) =
>  [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm]  ( [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x }[/mm]
> f(x, y) * cos p )


Da mußt Du die Regel von oben einfach nochmal anwenden:

[mm] \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial p}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}}[/mm]

Das ergibt folgendes:

[mm]\begin{gathered} \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial p}} = \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x^2 }}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial y}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y^2 }}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}} \hfill \\ = \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x^2 }}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial y}}\;\left( {\frac{{\delta y}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}}} \right)\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y^2 }}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Für [mm]\frac{{\partial ^{2} g}} {{\partial r^{2} }}[/mm] ergibt sich dann:

[mm]\frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r^2 }}\; = \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x^2 }}\;\left( {\frac{{\delta x}} {{\delta r}}} \right)^2 \; + \;2\;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial y}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y^2 }}\;\left( {\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)^2 [/mm]

Ich hoffe, Du kriegst das trotz Deiner Kopfschmerzen hin.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
zweite partielle Ableitung: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Di 24.05.2005
Autor: baddi

Hallo MathePower,

> Für die partiellen Ableitungen von verketteten Funktionen
> gilt ja, wie Du schon erwähnt hast die Kettenregel:
>  
> [mm]\begin{gathered} \frac{{\delta g}} {{\delta r}}\; = \;\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}} \hfill \\ \frac{{\delta g}} {{\delta p}}\; = \;\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}} \hfill \\ \end{gathered}[/mm]

> Da mußt Du die Regel von oben einfach nochmal anwenden:
>  
> [mm] \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial p}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta p}}[/mm]

Stimmt das Folgendes ?
[mm] \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial r}}\; = \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial^2 r}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}[/mm]


> Ich hoffe, Du kriegst das trotz Deiner Kopfschmerzen hin.

Es ist schon ein bisschen besser, hab Kaffee getrunken... naja... psychologisch... gibt mir Gefühl neuer Kraft ;)
Danke :-)

Gruß
Sebasitan

Bezug
                        
Bezug
zweite partielle Ableitung: Stimmt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 24.05.2005
Autor: MathePower

Hallo baddi,

> Stimmt das Folgendes ?
>  [mm] \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial r}}\; = \frac{{\partial ^2 g}} {{\partial^2 r}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}} {{\delta x}}\;\frac{{\delta x}} {{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}} \right)}} {{\delta y}}\;\frac{{\delta y}} {{\delta r}}[/mm]

das ist richtig.

Gruß
MathePower

Bezug
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