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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 19.11.2008 | | Autor: | niki |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Jede endliche Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, ist eine zyklische Gruppe. |
Bitte helfen Sie mir, einen Beweis zu schreiben.
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Hattet Ihr schon den Begriff der "Ordnung" von Elementen? Dann ist der Beweis einfach. Die Gruppe habe [mm] \a{}n [/mm] Elemente. Nimm an, es gäbe ein Element [mm] \a{}a [/mm] mit einer Ordnung [mm] \a{}1
Ohne Ordnungen fällt es etwas schwerer. Dann wäre zu zeigen, dass für die Mächtigkeit [mm] \a{}m [/mm] einer Untergruppe der ganzen Gruppe mit der Mächtigkeit [mm] \a{}n [/mm] gilt: [mm] \a{}m [/mm] | [mm] \a{}n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 19.11.2008 | | Autor: | niki |
Trotz Ihrer Antwort kann ich nicht weiter gehen.
Eine zyklische Gruppe bildet man als [mm] a^{m}, [/mm] wenn m Primzahl ist, kann man nur 2 Untergruppen bilden, mit m=1 und m=p.
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Hallo,
versuchen wir's mal so:
nimm an, Du hast eine Gruppe mit |G|=p, p Primzahl.
Dann hat die Gruppe mindestens zwei Elemente.
Es gibt also ein vom neutralen Element e verschiedenes Element a, [mm] a\not=e.
[/mm]
Ich vermute, Du weißt, daß für jedes Element [mm] g\in [/mm] G gilt, daß [mm] g^p=e [/mm] ist, und daß die Ordnung eines jeden Elementes ein Teiler der Gruppenordnung ist.
Wenn dies der Fall ist, so nimm an, daß das Element a die Ordnung n<p hat. Was folgt hieraus? Was bedeutet das für die Gruppe?
Gruß v. Angela
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