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Hallo!
Erstmal finde ich echt super, was ihr macht. Habe euer Forum bisher nur "passiv" genutzt, d.h. in euren Beiträgen gesucht. Jetzt habe ich allerdings mal ne Frage, bei der ich nicht weiter weiß. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?
Aufgabe:
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei [mm] \delta_A_0 [/mm] = det [mm] (tE^{m}-A_0) \in [/mm] K[t] das charakteristische Polynom von [mm] A_0 \in K^{m^x^m}. [/mm] Zeigen Sie:
(i) Wenn [mm] A_0 [/mm] zyklisch und diagonalisierbar ist, dann hat [mm] \delta_A_0 [/mm] keine doppelten Nullstellen.
(ii) Wenn [mm] \delta_A_0 [/mm] keine doppelten Nullstellen hat, ist [mm] A_0 [/mm] zyklisch und diagonalisierbar.
Was ich mir bisher dazu überlegt habe:
(i) Da die Matrix diagonalisierbar ist, hat sie m Eigenwerte.
(ii) Da es keine doppelten Nullstellen gibt, sind die Eigenwerte paarweise verschieden. Da die Eigenvektoren folglich linear unabhängig sind, ist die Matrix diagonalisierbar.
Nun haben wir in der VL eine zyklische Matrix folgendermaßen definiert:
Eine Matrix [mm] A_0 \in K^n^x^m [/mm] ist dann und nur dann zyklisch, wenn es Vektoren v [mm] \in K^m [/mm] gibt, so dass [mm] \{v, Av, A^2v,...,A^n^-^1v \} [/mm] linear unabhängig und folglich eine Basis sind.
Leider komme ich nicht drauf, wie ich die Definition für meine Überlegungen beutzen kann. Stehe grad auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?! Wäre echt nett!
Danke schön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:17 So 05.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nikolausi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Rechtzeitig zu Nikolaus eine Reaktion auf deine Frage 
> Aufgabe:
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> Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei
> [mm]\delta_A_0[/mm] = det [mm](tE^{m}-A_0) \in[/mm] K[t] das charakteristische Polynom von [mm]A_0 \in K^{m^x^m}.[/mm] Zeigen Sie:
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> (i) Wenn [mm]A_0[/mm] zyklisch und diagonalisierbar ist, dann hat [mm]\delta_A_0[/mm] keine doppelten Nullstellen.
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> (ii) Wenn [mm]\delta_A_0[/mm] keine doppelten Nullstellen hat, ist [mm]A_0[/mm] zyklisch und diagonalisierbar.
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> Was ich mir bisher dazu überlegt habe:
>
> (i) Da die Matrix diagonalisierbar ist, hat sie m Eigenwerte.
>
> (ii) Da es keine doppelten Nullstellen gibt, sind die Eigenwerte paarweise verschieden. Da die Eigenvektoren folglich linear unabhängig sind, ist die Matrix diagonalisierbar.
>
> Nun haben wir in der VL eine zyklische Matrix folgendermaßen definiert:
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> Eine Matrix [mm]A_0 \in K^n^x^m[/mm] ist dann und nur dann zyklisch, wenn es Vektoren v [mm]\in K^m[/mm] gibt, so dass [mm]\{v, Av, A^2v,...,A^n^-^1v \}[/mm] linear unabhängig und folglich eine Basis sind.
>
> Leider komme ich nicht drauf, wie ich die Definition für meine Überlegungen beutzen kann. Stehe grad auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?! Wäre echt nett!
Bisher habe ich mir nur etwas zu (i) überlegt.
Angenommen, [mm] $\delta_{A_0}$ [/mm] hat eine doppelte Nullstelle [mm] $\lambda_0$, [/mm] dann gibt es die Darstellung [mm] $\delta_{A_0}=(t-\lambda_0)*(t-\lambda_0)*\delta'_{A_0}$
[/mm]
Sei v ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_0$.
[/mm]
Dann gilt doch [mm] $(A_0-\lambda_0*E)*\delta'_{A_0}(A_0)(v)=0$, [/mm] da [mm] $(A_0-\lambda*E)(v)=A_0(v)-\lambda*v=\lambda*v-\lambda*v=0$.
[/mm]
Sei v kein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_0$.
[/mm]
Dann gilt [mm] $\delta'_{A_0}(A_0)(v)=0$, [/mm] denn [mm] $\delta_{A_0}$ [/mm] annulliert ja auf jeden Fall die Matrix [mm] $A_0$, [/mm] und der Faktor (bzw. die Faktoren, es sind ja zwei) [mm] $(A_0-\lambda*E)$ [/mm] leistet keinen Beitrag dazu.
Mit anderen Worten: Die Matrix [mm] $(A_0-\lambda_0*E)*\delta'_{A_0}(A_0)$ [/mm] bildet jeden Vektor auf die Null ab, d.h., [mm] $\{x,A_0 v,A_0^2 v,\ldots,A^{m-1}\}$ [/mm] kann für kein v linear unabhängig sein. Widerspruch zur Zyklizität von [mm] $A_0$.
[/mm]
Zu (ii) fällt mir im Augenblick nichts ein.
Ist die Aussage nicht sogar falsch, denn sie behauptet doch auch, dass jede Matrix, die keine Eigenwerte besitzt, diagonalisierbar ist. Kann das stimmen?
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> Zu (ii) fällt mir im Augenblick nichts ein.
> Ist die Aussage nicht sogar falsch, denn sie behauptet doch auch, dass jede Matrix, die keine
> Eigenwerte besitzt, diagonalisierbar ist. Kann das stimmen?
Du hast wohl übersehen, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist und dass es daher immer $m$ Eigenwerte (mit Vielfachheiten gerechnet) gibt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nikolausi!
Nochmal zur (i), auch für mich zum Verständnis:
Marc hat also im Falle einer doppelten Nullstelle [mm] $\lambda_0$ [/mm] ein Polynom $p(t) = [mm] (t-\lambda_0)\cdot \delta'_{A_0}(t)$ [/mm] $m-1$-ten Grades konstruiert mit [mm] $p(A_0)(v) [/mm] = 0$ für alle $v [mm] \in \IK^m$. [/mm] Dies widerspricht der Tatsache, dass [mm] $A_0$ [/mm] zyklisch ist, denn dann wären für alle $v [mm] \in \IK^m$ [/mm] die Vektoren [mm] $v,A_0v,\ldots,A_0^{m-1}v$ [/mm] linear abhängig.
Jetzt zur (ii)
Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt das charakteristische Polynom und wir haben in dem Fall, dass wir es keine doppelten Nullstellen besitzt, eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] $A_0$ [/mm] (da die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind). Demnach ist [mm] $A_0$ [/mm] diagonalisierbar. Es seien [mm] $x_1,\ldots,x_m$ [/mm] solche Basisvektoren, d.h. [mm] $x_i$ [/mm] sei ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$. [/mm] Dann gilt für
[mm] $v:=x_1+x_2+\ldots [/mm] + [mm] x_m$,
[/mm]
dass [mm] $v,A_0v,\ldots,A_0^{m-1}v$ [/mm] linear unabhängig sind, denn wären sie es nicht, so müsste es ein (oBdA normiertes) Polynom $p$ $m-1$-ten Grades geben mit
[mm] $p(A_0)(v) [/mm] = 0$.
Notwendigerweise müsste aber $p$ ein Teiler von [mm] $CP_{A_0}$ [/mm] sein, also von der Form
$p(t) = [mm] \prod\limits_{{{i=1} \atop {i \ne j}}}^m [/mm] (t - [mm] \lambda_i)$
[/mm]
für ein $j [mm] \in \{1,2,\ldots,m\}$.
[/mm]
Dann wäre aber:
[mm] $p(A_0)(v) [/mm] = [mm] \prod\limits_{{{i=1} \atop {i \ne j}}}^m [/mm] (A - [mm] \lambda_i E_m)(x_1+\ldots [/mm] + [mm] x_m) [/mm] = [mm] \prod\limits_{{{i=1} \atop {i \ne j}}}^m [/mm] (A - [mm] \lambda_iE_m) x_j \ne [/mm] 0$,
Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]"){kind=small}
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