www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - zyklische Untergruppen
zyklische Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

zyklische Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mi 10.02.2010
Autor: one

Aufgabe
Schreibe folgende Abelsche Gruppe
i) als direktes Produkt zyklischer Untergruppen von Primzahlpotenzordnung
ii) in der Form [mm] \IZ/n_1 [/mm] x ... x [mm] \IZ/n_r [/mm] mit [mm] n_r|n_{r-1}|...|n_2|n_1 [/mm]

[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} [/mm]

i)

Es gilt:


[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong (\IZ/4\IZ)^{\*} [/mm] x [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} [/mm] da 4 und 25 teilerfremd sind.

[mm] \#(\IZ/4\IZ)^{\*} [/mm] = 2 also ist [mm] (\IZ/4\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm]

[mm] \#(\IZ/25\IZ)^{\*} [/mm] = 20 also ist [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2^2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ODER [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm]

Also ist dann [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2^2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm]
ODER [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x  [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm]

kann ich nun noch einen dieser Fälle ausschliessen?


ii)


[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/20\IZ [/mm]

ODER

[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/10\IZ [/mm]



Stimmt dies alles ungefähr?

        
Bezug
zyklische Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Mi 10.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> Schreibe folgende Abelsche Gruppe
> i) als direktes Produkt zyklischer Untergruppen von
> Primzahlpotenzordnung
>  ii) in der Form [mm]\IZ/n_1[/mm] x ... x [mm]\IZ/n_r[/mm] mit
> [mm]n_r|n_{r-1}|...|n_2|n_1[/mm]
>  
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*}[/mm]
>  i)
>  
> Es gilt:
>  
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong (\IZ/4\IZ)^{\*}[/mm] x [mm](\IZ/25\IZ)^{\*}[/mm]
> da 4 und 25 teilerfremd sind.
>  
> [mm]\#(\IZ/4\IZ)^{\*}[/mm] = 2 also ist [mm](\IZ/4\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm]

Genau.

> [mm]\#(\IZ/25\IZ)^{\*}[/mm] = 20 also ist [mm](\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2^2\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm] ODER [mm](\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ)[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>  
> Also ist dann [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2^2\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>  ODER [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x  [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>  
> kann ich nun noch einen dieser Fälle ausschliessen?

Nun, schau dir mal [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] genauer an. Die Restklassenabbildung [mm] $\IZ/25\IZ \to \IZ/5\IZ$ [/mm] induziert einen surjektiven (!) Homomorphismus [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast \to (\IZ/5\IZ)^\ast$. [/mm] Letzteres ist eine abelsche Gruppe mit 4 Elementen. Allerdings weisst du noch mehr: es ist eine zyklische Gruppe, da [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] ein endlicher Koerper ist!

Damit enthaelt [mm] $(\IZ/5\IZ)^\ast$ [/mm] ein Element der Ordnung 4 (sagen wir mal $x$), und auch [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] muss somit ein Element der Ordnung 4 enthalten (jedes Urbild von $x$ hat eine Ordnung, die ein Vielfaches von 4 ist).

Damit ist [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] eine abelsche Gruppe, die ein Element der Ordnung 4 und ein Element der Ordnung 5 enthaelt. Was folgt daraus?

> ii)
>  
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/20\IZ[/mm]
>
> ODER
>  
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/10\IZ[/mm]

Welches von beiden richtig ist zeigt sich aus (i).

> Stimmt dies alles ungefähr?

Ja.

LG Felix



Bezug
                
Bezug
zyklische Untergruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mi 10.02.2010
Autor: one

Hallo,

also somit ist [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm]

und also auch [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/20\IZ [/mm] .

Ok?

Bezug
                        
Bezug
zyklische Untergruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Mi 10.02.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Hallo,
>  
> also somit ist [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>  
> und also auch [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/20\IZ[/mm]
> .
>  
> Ok?

Genauso ist es!

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de