zyklische untergruppe von S12 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 17.12.2005 | | Autor: | sir123 |
| Aufgabe | | Wieviele Elemente hat die von p = (1 4 2 9 6)(3 12 5)(7 11) [mm] \in S_{12} [/mm] erzeugte zyklische Untergruppe <p> von [mm] S_{12}? [/mm] |
Hallo zusammen!
Hab diese Aufgabe und komme da nicht so richtig weiter.
Es gibt noch einen Hinweis zu der Aufgabe:
Ich solle doch die Länge der Zyklen beachten und nicht die Potenzen von p ausrechnen.
Meine Ansatz wäre:
<p> = [mm] \{1^{5}, 3^{3}, 7^{2}, 8^{1}, 10^{1} \}
[/mm]
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
mfg
sir123
ich bin neu, deshalb:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 17.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Wieviele Elemente hat die von p = (1 4 2 9 6)(3 12 5)(7 11)
> [mm]\in S_{12}[/mm] erzeugte zyklische Untergruppe <p> von [mm]S_{12}?[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Hab diese Aufgabe und komme da nicht so richtig weiter.
> Es gibt noch einen Hinweis zu der Aufgabe:
> Ich solle doch die Länge der Zyklen beachten und nicht die
> Potenzen von p ausrechnen.
>
> Meine Ansatz wäre:
>
> <p> = [mm]\{1^{5}, 3^{3}, 7^{2}, 8^{1}, 10^{1} \}[/mm]
Was soll das sein?!?
Denk mal ueber folgendes nach:
- Wenn du einen Zyklus Z der Laenge n hast (also sowas wie $Z = [mm] (c_1, \dots, c_n)$, [/mm] etwa ist $(1, 2, 3, 4)$ ein Zyklus der Laenge 4), welche Ordnung hat dann [mm] $\langle [/mm] Z [mm] \rangle$?
[/mm]
- Wenn [mm] $Z_1, \ldots, Z_n$ [/mm] disjunkte Zyklen sind, dann gilt ja [mm] $Z_i Z_j [/mm] = [mm] Z_j Z_i$ [/mm] fuer alle $i, j = 1, [mm] \ldots, [/mm] n$. Welche Ordnung hat dann [mm] $\langle Z_1 \cdots Z_n \rangle$?
[/mm]
- Was hilft dir das in deinem konkreten Fall?
HTH & LG, Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 17.12.2005 | | Autor: | sir123 |
erstmal danke für die hilfe, aber so ganz bin ich noch nicht im bilde.
also wenn ich einen zyklus der länge n habe (zB 4 wie in dem bsp) hat der zyklus die ordnung n! (also 24)
konkret bedeutet dies bei mir:
[mm] Z_{1}=(1 [/mm] 4 2 9 6) - n= 5 - ordnung=120
[mm] Z_{2}=(3 [/mm] 12 5) - n=3 - ordnung=6
[mm] Z_{3}=(7 [/mm] 11) - n=2 - ordnung=2
[mm] Z_{8}=(8) [/mm] - n=1 - ordnung=1
[mm] Z_{10}=(10) [/mm] - n=1 - ordnung=1
wenn das nun richtig ist, muss ich dann einfach die ordnungen multiplizieren - also 1440????
mhh, ich glaub ganz hab ichs noch nicht verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Sa 17.12.2005 | | Autor: | felixf |
> erstmal danke für die hilfe, aber so ganz bin ich noch
> nicht im bilde.
>
> also wenn ich einen zyklus der länge n habe (zB 4 wie in
> dem bsp) hat der zyklus die ordnung n! (also 24)
Nein, das stimmt nicht: ein Zyklus der Laenge n hat auch Ordnung n. Du kannst das ja mal durchprobieren:
$Z = (1, 2, 3, 4),$
[mm] $Z^2 [/mm] = (1, 2, 3, 4) (1, 2, 3, 4) = (1, 3) (2, 4)$
[mm] $Z^3 [/mm] = (1, 3) (2, 4) (1, 2, 3, 4) = (1, 4, 3, 2)$
[mm] $Z^4 [/mm] = (1, 4, 3, 2) (1, 2, 3, 4) = (1) (2) (3) (4) = id$
Damit ist die Ordnung von Z gerade 4 und nicht 4! = 24.
> [...]
>
> wenn das nun richtig ist, muss ich dann einfach die
> ordnungen multiplizieren - also 1440????
In diesem Fall schon, im allgemeinen ist es aber nicht so. Wenn du z.B. die Zykel [mm] $Z_1 [/mm] = (1, 2)$ und [mm] $Z_2 [/mm] = (3, 4)$ hast, dann ist [mm] $(Z_1 Z_2)^2 [/mm] = [mm] Z_1^2 Z_2^2 [/mm] = id$, womit [mm] $Z_1 Z_2$ [/mm] die Ordnung 2 hat.
Im allgemeinen ist die Ordnung von [mm] $Z_1 \cdots Z_n$ [/mm] durch das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen von [mm] $Z_1, \ldots, Z_n$ [/mm] gegeben!
HTH Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 17.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Da ist glaube ich noch nicht ganz klar, was diese Zyklen eigentlich sein sollen....
Ein Zyklus wie sie in der Aufgabe vorkommen beschreibt eine ganz spezielle Permutation der Elemente, die in ihm vorkommen, nämlich eine zyklische Vertauschung dieser Elemente.
Betrachtet man z.B. (1 2 3), dann heißt das, dass durch diese Permutation 1 auf 2 abgebildet wird, 2 auf 3 und 3 wieder auf 1.
Die Ordnung ist jetzt nicht die Anzahl der möglichen Permutationen von {1,2,3} (es wird ja schon eine bestimmte Permutation beschrieben), sondern wie oft ich diese spezielle Permutation hintereinander ausführen muss, um wieder die Identität zu erhalten.
Wie oft wäre das also bei einem Zyklus der Länge 3?
Und allgemein??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Sa 17.12.2005 | | Autor: | sir123 |
würde das bei mir speziell bedeuten
(1 4 2 9 6) - ordnung=5
(3 12 5) - ordnung=3
(7 11) - ordnung=2
kleinstes gemeinsames vielfaches ist dann: 30??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 So 18.12.2005 | | Autor: | felixf |
> würde das bei mir speziell bedeuten
>
> (1 4 2 9 6) - ordnung=5
> (3 12 5) - ordnung=3
> (7 11) - ordnung=2
>
> kleinstes gemeinsames vielfaches ist dann: 30??
Jep, das ist die Loesung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Sa 17.12.2005 | | Autor: | sir123 |
wäre cool wenn ihr noch kurz sagt, ob 30 richtig ist. 
bedanke mich schonmal für eure schnell und kompetente hilfe.
ich findes sehr gut, das ihr nicht schnöde die lösung angebt, sondern tipps und hilfestellungen gebt.
so versteht man nicht nur das spezielle thema sondern auch den theoretischen zusammenhang.
top!
mfg
sir123
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