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Dipl. math. Felix Fontein
Dipl. math. Dieter Osterholz | www.matheraum.de
Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Fr 08.09.2006 12:00 | 01.09.2006 | | Aufgabe 1 | Sei  ein Monoid. Wir betrachten die folgenden Bedingungen:
(i) ist eine Gruppe.
(ii) Sind  mit  oder  , dann gilt  .
Die Implikation '' '' gilt immer.
Zeige, dass die andere Implikation '' '' für endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein Beispiel für einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht gilt. | | Aufgabe 2 | Sei  eine Menge und  eine Teilmenge.
Zeige, dass die Gruppe  auf kanonische Weise als Untergruppe von  aufgefasst werden kann.
Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das Wort 'kanonisch' nachzudenken  Falls euch das Wort nicht vertraut ist, schaut mal ![[]](/images/popup.gif) hier. | | Aufgabe 3 | Sei eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt  . | | Aufgabe 4 | Sei eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element  gilt  (dabei sei  das neutrale Element der Gruppe).
Zeige, dass abelsch ist. | | Aufgabe 5 | Sei eine Gruppe und seien  ,  Untergruppen. Zeige, dass folgende beiden Aussagen äquivalent sind:
(i)  ist eine Untergruppe von ;
(ii)  oder  . |
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