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Additionstheorem

Satz Additionstheoreme


Schule


$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot{} \cos \beta + \cos \alpha \cdot{} \sin \beta $


$ \sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cdot{} \cos \beta-\cos \alpha \cdot{} \sin \beta $


$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot{} \cos \beta - \sin \alpha \cdot{} \sin \beta $


$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot{} \cos \beta + \sin \alpha \cdot{} \sin \beta $



siehe auch:
[link]in der Wikipedia
mit Erklärung [link]http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung38/
oder [link]http://www.krauseplonka.de/math_onl/ma1/trig_fkt/add_theor1.htm


Universität

Voraussetzungen und Behauptung
Es gilt für reellwertiges $ \phi $ die sogenannte Eulersche Formel

$ e^{i\phi}=\sin(\phi)+i\cdot{}\cos(\phi), $

wobei man $ e^z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} $ für $ z \in \IC $ benutzt. Damit ist $ \cos(\phi)=\text{Re}(e^{i\phi}) $ und $ \sin(\phi)=\text{Im}(e^{i \phi}). $

Wegen $ 1=e^0=e^{i\phi}\cdot e^{-\,i\phi}=e^{i\phi}\cdot{}\overline{e^{i\phi}}=|e^{i\phi}| $ (dabei steht für $ z \in \IC $ die Zahl $ \overline{z} \in \IC $ für die konjugiert Komplexe) folgt damit

$ 1=(\text{Re}(e^{i\phi}))^2+(\text{Im}(e^{i\phi}))^2=\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\,. $

Bemerkungen.

Weitere Bemerkungen zum Verständnis des Satzes.



Beispiele.


Beweis.


Erstellt: So 16.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 06.06.2013 um 20:29 von Marcel
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