Vorhilfe Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

Vorhilfe

Jura

Schule

Praxis

Technik

Mathe

Chemie

Medizin

Physik

Sport

Deutsch

Latein

Plenum

VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen
	Einstieg

	Index aller Artikel

	Hilfe / Dokumentation
	Richtlinien
	Textgestaltung
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Dt. Schulen im Ausland:

Mathe-Seiten:

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial_existiert

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial existiert

Beweis-Tutorial

$\leftarrow$ 1. Vorbereitungen: Definitionen $\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ 3. "für alle"-Aussagen

2. "es existiert"-Aussagen

Wie zeige ich eine "es existiert"-Aussage?

Beispiel Die natürliche Zahl $6\$ ist gerade.

Das wollen wir nun beweisen. Nach den Übungsaufgaben aus 2. Vorbereitungen: Definitionen ist der erste Schritt dazu hoffentlich kein Problem mehr: Notieren, was die Behauptung eigentlich bedeutet. Nämlich:

Es existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit $6=2\cdot m$ .

Zu zeigen ist also diese "es-existiert"-Aussage. Wie kann man so eine "es existiert"-Aussage beweisen? Man nennt hier einfach eine konkrete natürliche Zahl $m\$ , die wie gewünscht $6=2\cdot m$ erfüllt: Die Zahl $m:=3\$ (das Zeichen $:=\$ bedeutet hier: $m\$ wird definiert durch $3\$ ) leistet das Gewünschte, denn $6=2\cdot 3$ . Damit ist auch schon gezeigt, dass eine natürliche Zahl $m\$ mit $6=2\cdot m$ existiert: Wir haben ja eine solche Zahl $m\$ gefunden.

Unseren Beweis können wir nun z.B. wie folgt notieren:

Die natürliche Zahl $m:=3\$ erfüllt $6=2\cdot 3=2\cdot m$ . Insbesondere existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit $6=2\cdot m$ . Also ist 6 gerade.

Das ist eigentlich schon alles, was es zum Beweis von "es existiert"-Aussagen zu sagen gibt: Man gibt ein konkretes Beispiel (oben: die Zahl $3\$ ) an und weist nach, dass es das Gewünschte leistet.

Wie finde ich so ein Beispiel?

Das fragt sich vielleicht manch einer insbesondere bei schwierigeren Aufgaben. Wie komme ich beispielsweise oben darauf, dass mir gerade die Zahl $m=3\$ weiterhilft? Eine pauschale Antwort auf solche Fragen gibt es nicht! Je schwieriger die Probleme werden, desto mehr ist die "Genialität" des Mathematikers/der Mathematikerin gefordert, ein solches Beispiel zu finden. Manchmal hilft beispielsweise "wildes Rumprobieren", manchmal eine gute Anschauung (z.B. von Funktionen anhand ihres Graphen) oder Vorstellung bei der Suche.

Eine Such-Methode, die ich "Schmierzettel-Methode" nenne, möchte ich jedoch an obigem Beispiel vorstellen: Man fragt sich: Wie müsste eine natürliche Zahl $m\$ aussehen, wenn sie wie gewünscht $6=2\cdot m$ erfüllen würde? Man tut also (auf einem Schmierzettel) so, als hätte man schon ein Beispiel, und versucht, Informationen über das Beispiel zu gewinnen. Aus $6=2\cdot m$ folgt durch dividieren durch 2 auf beiden Seiten der Gleichung sofort $3=m\$ . Was sagt uns das? Wenn wir überhaupt eine Chance haben sollten, eine Zahl $m\$ mit $6=2\cdot m$ zu finden, muss diese Zahl $m=3\$ lauten. Wir haben mit dieser Schmierzettel-Überlegung noch nicht etwa gezeigt, dass $m=3\$ wirklich ein Beispiel für eine Zahl $m\$ mit $6=2\cdot m$ ist! Ob $m=3\$ nun die einzige mögliche Wahl für ein Beispiel ist (wie unsere Schmierzettel-Überlegung zeigt), ist für den fertigen Beweis irrelevant. Diese Überlegung hat uns nur geholfen, ein Beispiel überhaupt zu finden. Im fertigen Beweis müssen wir uns nicht dafür rechtfertigen, wie wir auf das Beispiel gekommen sind. Wir können also, nachdem wir auf $m=3\$ gekommen sind, getrost den Schmierzettel wegwerfen. Für den fertigen Beweis interessiert nur, dass $m=3\$ das Gewünschte leistet.

Zusammengefasst lautet die "Schmierzettel-Methode" also:
1. Nimm auf einem Schmierzettel an, du hättest schon ein Beispiel, das das Gewünschte leistet. Ziehe Schlussfolgerungen daraus, um Informationen zu gewinnen, welche Eigenschaften das Beispiel dann notwendigerweise haben müsste.
2. Gib ein Beispiel mit diesen Eigenschaften an und zeige (unabhängig von den Schmierzettel-Überlegungen!), dass dieses Beispiel das Gewünschte leistet.

Aufgabe 5 Zeige, dass $3|24\$ gilt. Lösungsvorschlag

Aufgabe 6 Zeige, dass eine reelle Zahl $x\$ existiert mit . Lösungsvorschlag

Aufgabe 7 Seien $a,b,c\$ reelle Zahlen mit $a\not=0$ . Zeige, dass eine reelle Zahl $x\$ existiert mit $ax+b=c\$ . Lösungsvorschlag

Aufgabe 8 Sei $x\$ eine reelle Zahl. Zeige, dass es eine reelle Zahl $y\$ mit $y>x\$ gibt. Lösungsvorschlag

Wie benutze ich eine "es existiert"-Aussage?

Beispiel Seien $x\$ und $y\$ gerade natürliche Zahlen. Dann ist auch die natürliche Zahl $x+y\$ gerade.

Fangen wir wieder mit unseren Routine-Vorbereitungen an und überlegen uns, was die Voraussetzungen und die Behauptung jeweils bedeuten:

Gegeben:
Natürliche Zahlen $x\$ und $y\$ .
$x\$ gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit $x=2\cdot m$ .
$y\$ gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit $y=2\cdot m'$ .
Zu zeigen:
$x+y\$ gerade, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit $x+y=2\cdot m''$ .

Wir müssen also wieder eine "es existiert"-Aussage beweisen. Wie das geht, wissen wir schon: Wir müssen ein Beispiel für eine Zahl mit $x+y=2\cdot m''$ finden. Das Neue ist nun, dass wir irgendwie die durch die Voraussetzungen gegebenen "es existiert"-Aussagen ins Spiel bringen müssen. Das geht für die Voraussetzung " $x\$ gerade" wie folgt:

"Es existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit $x=2\cdot m$ . Wir wählen eine solche Zahl $m\$ (das können wir tun, denn es gibt ja eine solche Zahl)."

Ab jetzt können wir annehmen, dass wir eine natürliche Zahl $m\$ mit $x=2\cdot m$ haben. Genauso verfahren wir mit der Voraussetzung " $y\$ gerade":

"Es existiert eine natürliche Zahl mit $y=2\cdot m'$ . Wir wählen eine solche Zahl (das können wir tun, denn es gibt ja eine solche Zahl)."

Wir haben also nun natürliche Zahlen m und mit $x=2\cdot m$ und $y=2\cdot m'$ (*). Wir suchen wie gesagt eine natürliche Zahl mit $x+y=2\cdot m''$ .

Zum Beispiel mit der Schmierzettel-Methode:
1. Wenn eine Zahl natürliche Zahl der Gleichung $x+y=2\cdot m''$ genügen soll, muss (Einsetzen der Gleichungen (*)) notwendigerweise

$2\cdot m''=x+y=2\cdot m+2\cdot m'=2\cdot(m+m')$

gelten, also .
2. Weisen wir nach, dass das Gewünschte leistet, also eine natürliche Zahl ist, die $x+y=2\cdot m''$ erfüllt: Da m und natürliche Zahlen sind, ist auch eine natürliche Zahl. Sie erfüllt

$2\cdot m''=2\cdot(m+m')=2\cdot m+2\cdot m'=x+y$

wie gewünscht.

Damit haben wir unseren Beweis gefunden! Schreiben wir ihn noch ordentlich im Zusammenhang auf:

Da $x\$ gerade ist, existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit $x=2\cdot m$ .
Wir wählen eine solche Zahl $m\$ (das können wir tun, denn es gibt ja eine solche Zahl).
Da $y\$ gerade ist, existiert eine natürliche Zahl mit $y=2\cdot m'$ .
Wir wählen eine solche Zahl (das können wir tun, denn es gibt ja eine solche Zahl).
Da $m\$ und natürliche Zahlen sind, ist auch eine natürliche Zahl. Sie erfüllt

$2\cdot m''=2\cdot(m+m')=2\cdot m+2\cdot m'=x+y$ .

Insbesondere existiert eine natürliche Zahl mit $x+y=2\cdot m''$ .
Also ist $x+y\$ gerade.

Es ist üblich, die kursiv gedruckten Zeilen wegzulassen. So gut wie immer, wenn innerhalb eines Beweises etwas steht wie "es existiert eine natürliche Zahl $m\$ mit...", ist automatisch gemeint, dass wir eine solche Zahl $m\$ wählen. Diese Konvention erspart einem viel Schreibarbeit...

Aufgabe 9 Sei $x\$ eine gerade natürliche Zahl. Zeige, dass dann auch die natürliche Zahl gerade ist. Lösungsvorschlag

Aufgabe 10 Seien $x,y,z\$ natürliche Zahlen. Gelte $x|y\$ und $x|z\$ . Zeige $x|y+z\$ . Lösungsvorschlag

Aufgabe 11 Seien $x,y,z\$ natürliche Zahlen. Gelte $x|y\$ . Zeige $x|z\cdot y$ . Lösungsvorschlag

Aufgabe 12 Seien $x,y,z\$ natürliche Zahlen. Gelte $x|y\$ und $y|z\$ . Zeige $x|z\$ . Lösungsvorschlag

Aufgabe 13 Seien $x\$ und $y\$ natürliche Zahlen mit $x|y\$ . Sei $n\$ eine weitere natürliche Zahl. Zeige . Lösungsvorschlag

Erstellt: Do 26.09.2013 von tobit09

Letzte Änderung: Fr 31.10.2014 um 21:17 von tobit09

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext