www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Winkelfunktion
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Winkelfunktion

(Weitergeleitet von cosinus)

Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


Bild:RechtwinkligesDreieck.jpg


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $


Dabei ist die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.



Definition am Einheitskreis

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:


Bild:Einheitskreis.png

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $ \alpha $ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $ \alpha $ und Kosinus $ \alpha $ in ein Koordinatenkreuz übertragen.


Sinusfunktion:


Bild:sinus.jpg


Kosinusfunktion:


Bild:cosinus.jpg

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $ |y| \le 1 $ ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit $ \pi $ = Kreiszahl = 3.1415926...:


$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array} $

Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $ 2\cdot{}\pi $.
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.

Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz $ \IR $ ist.

weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen


Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Sinus):
$ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Kosinus):
$ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $



Weitere Beziehungen

$ \sin(x)=\bruch{1}{2j}\cdot{}\big(e^{jx}-e^{-jx}\big) $

$ \cos(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\big(e^{jx}+e^{-jx}\big) $


Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zur Tangensfunktion

Erstellt: So 05.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 28.01.2010 um 22:38 von Herby
Weitere Autoren: Hanno, informix, Loddar, M.Rex
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de