halbmetrischer RaumDefinition Halbmetrischer Raum
Es sei X eine nichtleere Menge und es sei  eine Funktion. d heißt Halbmetrik (auf X), falls folgende Bedingungen gelten:
d.1) Es gilt d(x,x)=0 für alle  .
d.2) Es gilt d(x,y)=d(y,x) für alle  . (Symmetrie)
d.3) Es gilt  für alle  . (Dreiecksungleichung)
Das Paar (X,d) heißt dann halbmetrischer Raum.
Bemerkungen.
1.) Bei d.1) wird oft zusätzlich  für alle gefordert. Wir werden aber zeigen, dass darauf verzichtet werden kann, denn:
Nach d.1) (obige Bedingung!) gilt für alle :
 ,
woraus dann  ( ) folgt. 
2.) Der Unterschied eines halbmetrischen Raumes zu einem metrischen Raum liegt darin, dass es in einem halbmetrischen Raum Elemente geben kann mit  , für die aber d(x,y)=0 gilt. Deswegen sind in einem halbmetrischen Raum die Grenzwerte einer Folge i.A. nicht eindeutig.
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