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Tach!
Muss hier ne Aufgabe bearbeitet. Vielleicht hat jemand einen Tip wie ich die Aufgabe lösen kann:
Es sei (X,d) ein metrischer Raum, M [mm] \subseteq [/mm] X. Zeigen Sie:
a) [mm] \overline{M} [/mm] ist abgeschlossen; [mm] \overline{\overline{M}} =\overline{M}
[/mm]
b) M° ist offen; (M°)°=M°
Danke schonmal für jeden Hinweis.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mi 22.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> a) [mm]\overline{M}[/mm] ist abgeschlossen; [mm]\overline{\overline{M}} =\overline{M}[/mm]
Wie habt ihr den Abschluss definiert? Man kann es einfach als Schnitt über alle abgeschlossene Mengen definieren, die M entahlten, dann wird das trivial ...
> b) M° ist offen; (M°)°=M°
Genauso: wie habt ihr das Innere genau definiert? Man kann es als Vereingung aller offenen Mengen, die in M entahlten sind, definieren - dann wird das auch wieder trivial ..
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Quasimodo |
Moin Secki,
wir haben dies so definiert:
[mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M
M°=M\ [mm] \partial [/mm] M
Gruß
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Hallo!
Naja, das ist nur eine Frage, die Defintion korrekt einzusetzen.
Zur Erinnerung: ist $M$ eine Menge in einem metrischen Raum $(X,d)$, so ist der Rand von $M$ definiert als
[mm] $\partial [/mm] M = [mm] \{ x \in X : \; \forall \v; \varepsilon > 0 : B_\varepsilon(x) \cap M \not= \emptyset \mbox{ und } B_\varepsilon(x) \cap M^c \not= \emptyset \}$
[/mm]
Dabei meine ich mit [mm] $M^c [/mm] = X [mm] \backslash [/mm] M$ das Komplement von $M$ in $X$.
Oder in Worten: der Rand von $M$ sidn alle Punkte in $X$, bei denen in jeder Epsilon-Umgebung sowohl Punkte von $M$ als auch Punkte aus [mm] $M^c$ [/mm] liegen.
So, ich beweise jetzt das mit dem Abschluss - das mit dem Inneren geht im Prinzip genauso, das überlasse ich Dir.
Gezeigt werden soll, dass [mm] $\bar{M}$ [/mm] abgeschlossen ist. Sei $U := X [mm] \backslash \bar{M}$, [/mm] dann müssen wir zeigen, dass $U$ offen ist, also mit jedem Punkt noch eine Umgebung enthält.
Beweis durch Widerspruch. Angenommen $U$ wäre nicht offen, dann findet man ein $x [mm] \in [/mm] U$ mit der Eigenschaft, dass keine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ ganz in $U$ liegt. Zunächst gilt $x [mm] \notin [/mm] M$, da $M [mm] \subseteq \bar{M} [/mm] = M [mm] \cup \partial [/mm] M$, also gilt für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$: $x [mm] \in B_\varepsilon(x) \cap M^c$, [/mm] also ist diese Menge schon mal nicht leer.
Da aber keine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ ganz in $U$ liegt, gibt es in jeder solcher Umgebung Punkte aus [mm] $\bar{M}$ [/mm] und sogar Punkte aus $M$ persönlich (da in jeder Umgebung eines Punktes aus [mm] $\partial [/mm] M$ Punkte aus $M$ liegen). Damit ist [mm] $B_\varepsilon(x) \cap [/mm] M [mm] \not= \emptyset$. [/mm] Also ist $x [mm] \in \partial [/mm] M$ und daraus folgt $x [mm] \notin [/mm] U$ ein Widerspruch.
Alles klar? Für das Innere musst Du ähnlich argumentieren, das geht sogar noch leichter.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Quasimodo |
Tach Lars,
Danke für die ausführliche Antowort. Ich werde versuchen dies nachzuvollziehen und die zweite Aufgabe zu rechnen.
Gruß
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[mm] \overline{\overline{M}} =\overline{M}
[/mm]
ich verstehe leider nicht wie man das zeigen soll.
helft bitte.
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Hallo!
Hm, das verstehe ich nicht - genau das habe ich doch hier schon ausführlich bewiesen!
Es ist ja bekannt, dass eine Menge $A$ genau dann abgeschlossen ist, wenn gilt: [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A$.
Ich habe in dem anderen Artikel bewiesen, dass [mm] $\overline{M}$ [/mm] abgeschlossen ist, also gilt insbesondere [mm] $\partial \overline{M} \subseteq \overline{M}$.
[/mm]
Und damit folgt die Behauptung: denn der Abschluss einer Menge ist die Vereinigung der Menge mit ihrem Rand.
Alles klar?
Lars
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