Charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 29.05.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und A [mm] \in [/mm] GL(k,3). Zeigen Sie, dass a,b,c [mm] \in [/mm] K existieren mit
A^-1 = aE+bA+cA² |
Also da A eine 3x3 Matrix ist kann ich sagen es gibt ein Polynom dritten Grades mit P(x)= d+ax+bx²+cx³
Nach C.H. gilt ja P(A) = 0 (<-- 0 Matrix);
Naja wenn ich P(A) einsetze und umstelle bin ich fast am Ziel
-d = aA + bA² +cA³ / *A^-1
==>
-dA^-1 = aE + bA +cA²
Jetzt das Problem: -d
Darf ich durch -d teilen? Wenn ja wieso? gruss
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> Sei K ein Körper und A [mm]\in[/mm] GL(k,3). Zeigen Sie, dass a,b,c
> [mm]\in[/mm] K existieren mit
>
> A^-1 = aE+bA+cA²
> Also da A eine 3x3 Matrix ist kann ich sagen es gibt ein
> Polynom dritten Grades mit P(x)= d+ax+bx²+cx³
Hallo,
Irgendein Polynom dritten Grades gibt es immer. Das ist völlig unabhängig von der Matrix A.
Das da oben ist so, als würde ich sagen: weil's heute so heiß war, gibt es ein Polynom dritten Grades.
Naja, ich ahne natürlich, was Du sagen willst.
Diese matrix hat ein charakteristisches Polynom, welches den Grad 3 hat.
Allerdings ist das charakteristische Polynom normiert, also ist [mm] P_A(x)=x^3+...
[/mm]
>
> Nach C.H. gilt ja P(A) = 0 (<-- 0 Matrix);
Ja. Und hier siehst Du, daß es wesentlich ist, über das charakteristische Polynom zu reden. Denn Du kannst ja nicht A in irgendein beliebiges Polynom stecken und dann erwarten, daß die Nullmatrix herauskommt.
>
> Naja wenn ich P(A) einsetze und umstelle bin ich fast am
> Ziel
Wie gesagt: Du mußt mit dem charakteristischen Polynom arbeiten.
Kann das charakteristische Polynom denn so aussehen: [mm] x^3+kx^2+lx [/mm] ?
Bedenke, daß A invertierbar ist.
Diese Aufgabe wurde übrigens gerade vorhin dort bearbeitet, sicher bringt Dich das weiter.
Gruß v. Angela
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